Номер 6, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их сумма быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Для того чтобы это доказать, достаточно привести хотя бы один пример. Однако сначала дадим общее обоснование.

По определению, рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным.

Пусть $\alpha$ — любое иррациональное число. Мы хотим найти другое иррациональное число $\beta$ такое, что их сумма $\alpha + \beta$ будет рациональным числом. Обозначим эту рациональную сумму как $r$.

Итак, мы имеем равенство: $\alpha + \beta = r$.

Выразим из него $\beta$: $\beta = r - \alpha$.

Теперь нужно доказать, что $\beta$ также является иррациональным числом. Будем доказывать от противного. Предположим, что $\beta$ — рациональное число. Поскольку $r$ по нашему условию тоже рациональное число, то их разность $r - \beta$ также должна быть рациональным числом (так как сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами, за исключением деления на ноль).

Но $r - \beta = \alpha$. Таким образом, мы получаем, что $\alpha$ — рациональное число. Это прямо противоречит нашему исходному условию, что $\alpha$ — иррациональное число. Следовательно, наше предположение о том, что $\beta$ является рациональным, неверно. Значит, $\beta$ — иррациональное число.

Таким образом, мы показали, что для любого иррационального числа $\alpha$ и любого рационального числа $r$ всегда существует иррациональное число $\beta = r - \alpha$, сумма которого с $\alpha$ будет равна рациональному числу $r$.

Пример:

Возьмем в качестве первого иррационального числа $\alpha = \sqrt{2}$.
Пусть мы хотим, чтобы сумма была равна рациональному числу $5$. То есть $r = 5$.
Тогда второе иррациональное число $\beta$ должно быть равно $r - \alpha = 5 - \sqrt{2}$.
Число $\beta = 5 - \sqrt{2}$ является иррациональным, как мы доказали выше.
Найдем их сумму:$\alpha + \beta = \sqrt{2} + (5 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} + 5 - \sqrt{2} = 5$.
Сумма равна $5$, что является рациональным числом.

Другой, еще более простой пример:
Пусть $\alpha = \sqrt{3}$ (иррациональное число).
Пусть $\beta = -\sqrt{3}$ (также иррациональное число).
Их сумма: $\alpha + \beta = \sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0$.
Число $0$ является рациональным (его можно представить как $0/1$).

Ответ: Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, сумма иррациональных чисел $\sqrt{2}$ и $5 - \sqrt{2}$ равна рациональному числу $5$.