Номер 1, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Опишите множество рациональных чисел. Опишите множество иррациональных чисел.

Опишите множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел, обозначаемое символом $Q$, представляет собой совокупность всех чисел, которые можно выразить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где числитель $p$ является целым числом ($p \in Z$), а знаменатель $q$ — натуральным числом ($q \in N$). Формально это записывается так: $Q = \{ \frac{p}{q} \mid p \in Z, q \in N \}$.

Ключевой особенностью рациональных чисел является их десятичное представление. Любое рациональное число может быть записано в виде либо конечной десятичной дроби (например, $\frac{3}{4} = 0.75$), либо бесконечной периодической десятичной дроби (например, $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3)$ или $\frac{5}{11} = 0.454545... = 0.(45)$).

Множество рациональных чисел включает в себя множество целых чисел ($Z$) и множество натуральных чисел ($N$), так как любое целое число $n$ можно представить в виде дроби $\frac{n}{1}$. Таким образом, справедливо вложение множеств: $N \subset Z \subset Q$. Операции сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль) над рациональными числами всегда приводят к результату, который также является рациональным числом.

Ответ: Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число ($p \in Z$), а $q$ – натуральное число ($q \in N$). В виде десятичной дроби рациональное число представляется либо конечной, либо бесконечной периодической дробью.

Опишите множество иррациональных чисел

Множество иррациональных чисел — это множество всех действительных чисел, которые не являются рациональными. Иррациональное число невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое, а $q$ — натуральное число. Множество иррациональных чисел обозначается как $I$ или $R \setminus Q$, где $R$ — множество действительных чисел.

Главное отличие иррациональных чисел от рациональных заключается в их десятичном представлении. Десятичная запись любого иррационального числа является бесконечной и непериодической. Это означает, что в последовательности цифр после запятой нет повторяющегося блока (периода).

Примерами иррациональных чисел являются: алгебраические иррациональные числа, такие как корни из чисел, не являющихся точными квадратами ($\sqrt{2} \approx 1.4142...$, $\sqrt{3} \approx 1.7320...$); и трансцендентные числа, которые не являются корнями многочленов с целыми коэффициентами (самые известные — число $\pi \approx 3.1415...$ и число $e \approx 2.7182...$).

Множество действительных чисел ($R$) является объединением множества рациональных ($Q$) и множества иррациональных ($I$) чисел: $R = Q \cup I$. Эти два множества не пересекаются: $Q \cap I = \emptyset$.

Ответ: Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными, то есть не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$ и $q \in N$. В виде десятичной дроби иррациональное число представляется бесконечной непериодической дробью.