Номер 7, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — иррациональные числа. Может ли их разность быть рациональным числом? Если да, то приведите пример.

Да, разность двух иррациональных чисел может быть рациональным числом.

Для ответа на этот вопрос достаточно привести конкретный пример. Нам нужно найти два иррациональных числа $\alpha$ и $\beta$, таких что их разность $\alpha - \beta$ будет рациональным числом.

Пусть в качестве первого иррационального числа $\alpha$ мы возьмем число $\sqrt{3} + 1$.

Докажем, что $\alpha = \sqrt{3} + 1$ является иррациональным числом. Мы будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что $\sqrt{3} + 1$ — это рациональное число. Тогда его можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа, а $q \neq 0$.

$\sqrt{3} + 1 = \frac{p}{q}$

Выразим $\sqrt{3}$ из этого уравнения:

$\sqrt{3} = \frac{p}{q} - 1$

$\sqrt{3} = \frac{p - q}{q}$

В правой части равенства стоит число, которое является результатом операций вычитания и деления над целыми числами $p$ и $q$. Следовательно, число $\frac{p-q}{q}$ является рациональным. Однако в левой части стоит число $\sqrt{3}$, которое, как известно, является иррациональным. Мы получили противоречие: иррациональное число не может быть равно рациональному. Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным, и число $\alpha = \sqrt{3} + 1$ действительно является иррациональным.

Теперь выберем второе иррациональное число. Пусть $\beta = \sqrt{3}$.

Найдем разность этих двух иррациональных чисел $\alpha$ и $\beta$:

$\alpha - \beta = (\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3} = \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 1$

Результат разности равен 1. Число 1 является рациональным, так как его можно представить в виде дроби $\frac{1}{1}$.

Таким образом, мы нашли два иррациональных числа ($\sqrt{3} + 1$ и $\sqrt{3}$), разность которых является рациональным числом.

Ответ: Да, может. Например, если взять иррациональные числа $\alpha = \sqrt{3} + 1$ и $\beta = \sqrt{3}$, их разность $\alpha - \beta = 1$ является рациональным числом.