Номер 13, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Что такое наименьшее общее кратное двух натуральных чисел? Найдите $НОК(72; 15)$.

Что такое наименьшее общее кратное двух натуральных чисел?
Наименьшим общим кратным (сокращенно НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ называется самое маленькое натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел ($a$ и $b$) без остатка.
Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим пример. Найдем НОК для чисел 4 и 6.
Сначала выпишем несколько первых кратных для каждого числа (числа, которые делятся на данное число):
Кратные для 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
Кратные для 6: 6, 12, 18, 24, 30, ...
Общими кратными для 4 и 6 являются числа, которые есть в обоих списках: 12, 24, и так далее. Самое маленькое (наименьшее) из них — это 12.
Следовательно, $НОК(4; 6) = 12$.
Ответ: Наименьшее общее кратное двух натуральных чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Найдите НОК(72; 15).
Для нахождения наименьшего общего кратного чисел 72 и 15 удобно использовать метод разложения на простые множители.
1. Разложим каждое число на простые множители:
Для числа 72:
$72 = 2 \cdot 36 = 2 \cdot 2 \cdot 18 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
Для числа 15:
$15 = 3 \cdot 5 = 3^1 \cdot 5^1$
2. Теперь, чтобы найти НОК, нужно выписать все простые множители, которые встречаются в разложениях (в нашем случае это 2, 3 и 5), и взять каждый из них в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.
- Для множителя 2 наибольшая степень — 3 (из разложения числа 72: $2^3$).
- Для множителя 3 наибольшая степень — 2 (из разложения числа 72: $3^2$).
- Для множителя 5 наибольшая степень — 1 (из разложения числа 15: $5^1$).
3. Перемножим эти множители в их наибольших степенях:
$НОК(72; 15) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.
Ответ: 360.