Номер 9, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Конечно или бесконечно множество простых чисел? Конечно или бесконечно множество составных чисел?

Конечно или бесконечно множество простых чисел?

Множество простых чисел является бесконечным. Это одна из фундаментальных теорем теории чисел, доказанная ещё Евклидом. Его доказательство является классическим примером метода "от противного".

1. Предположим, что множество простых чисел конечно. Это значит, что существует самое большое простое число, и мы можем составить полный список всех простых чисел: $p_1, p_2, p_3, \dots, p_n$.

2. Теперь рассмотрим число $P$, равное произведению всех этих простых чисел плюс единица:

$P = (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \dots \cdot p_n) + 1$

3. Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 либо само является простым, либо делится на какое-либо простое число.

4. Наше число $P$ больше 1. Однако при делении $P$ на любое простое число из нашего списка ($p_1, p_2, \dots, p_n$) в остатке всегда будет 1. Это означает, что $P$ не делится ни на одно из известных нам простых чисел.

5. Из этого следует два возможных вывода:

а) Либо $P$ само является простым числом. Но его нет в нашем списке, так как оно очевидно больше любого числа из списка.

б) Либо $P$ является составным числом. Но тогда оно должно делиться на какое-то простое число, которого опять же нет в нашем списке.

Оба вывода приводят к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что список $p_1, p_2, \dots, p_n$ содержит все простые числа. Следовательно, это предположение было неверным.

Ответ: Множество простых чисел бесконечно.

Конечно или бесконечно множество составных чисел?

Множество составных чисел также является бесконечным. Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым (то есть имеет делители, отличные от 1 и самого себя).

Доказать бесконечность этого множества очень просто. Для этого достаточно найти бесконечную последовательность, все члены которой являются составными числами.

Например, рассмотрим множество всех чётных чисел, больших 2. Любое такое число можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число, большее 1. Все числа этой последовательности ($4, 6, 8, 10, 12, \dots$) по определению делятся на 2 и на $k$, а значит, являются составными.

Поскольку существует бесконечно много целых чисел $k > 1$, то и множество таких составных чисел бесконечно.

Другой пример — последовательность чисел вида $n \times m$, где $n$ и $m$ — любые целые числа больше 1. Например, для $n=4$: $4 \times 2=8, 4 \times 3=12, 4 \times 4=16, \dots$ — все эти числа являются составными. Так как мы можем взять бесконечно много значений для $m$, эта последовательность также бесконечна.

Ответ: Множество составных чисел бесконечно.