Номер 4, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Докажите, что если $a:b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac:bc$. Сформулируйте и докажите обратную теорему.

Докажите, что если $a \vdots b$ и $c \in \mathbb{N}$, то $ac \vdots bc$

Пусть даны натуральные числа $a, b, c \in \mathbb{N}$.

Условие "$a$ делится на $b$", или $a \vdots b$, означает, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = b \cdot k$

Нам необходимо доказать, что $ac$ делится на $bc$, то есть что существует такое целое число $m$, для которого $ac = (bc) \cdot m$.

Возьмем исходное равенство $a = b \cdot k$ и умножим обе его части на натуральное число $c$: $a \cdot c = (b \cdot k) \cdot c$

Используя сочетательное свойство умножения, мы можем перегруппировать множители в правой части равенства: $ac = (b \cdot c) \cdot k$

Мы представили произведение $ac$ в виде произведения $bc$ на натуральное число $k$. Это полностью соответствует определению делимости. Следовательно, $ac$ делится на $bc$ нацело.

Ответ: Утверждение доказано.

Сформулируйте и докажите обратную теорему

Формулировка обратной теоремы: Если для натуральных чисел $a, b, c$ произведение $ac$ делится нацело на произведение $bc$, то число $a$ делится нацело на число $b$. Формально: если $a, b, c \in \mathbb{N}$ и $ac \vdots bc$, то $a \vdots b$.

Доказательство обратной теоремы: Нам дано, что $a, b, c$ — натуральные числа и $ac \vdots bc$.

По определению делимости, существует такое натуральное число $k$, для которого выполняется равенство: $ac = (bc) \cdot k$

Поскольку $c$ является натуральным числом, оно отлично от нуля ($c \neq 0$). Это позволяет нам разделить обе части равенства на $c$: $\frac{ac}{c} = \frac{(bc)k}{c}$

После сокращения дробей на $c$ мы получаем: $a = b \cdot k$

Полученное равенство, согласно определению делимости, означает, что число $a$ делится нацело на число $b$. Теорема доказана.

Ответ: Обратная теорема сформулирована и доказана. Формулировка: если для натуральных чисел $a, b, c$ выполняется $ac \vdots bc$, то $a \vdots b$.