Номер 2, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Какие вы знаете свойства отношения делимости на множестве натуральных чисел?

Отношение делимости на множестве натуральных чисел $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} $ (обозначается как $a \vdots b$, читается как "a делится на b") обладает следующими ключевыми свойствами. По определению, $a \vdots b$ тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число $k$, что $a = b \cdot k$.

Рефлексивность

Любое натуральное число делится само на себя. Формально, для любого $a \in \mathbb{N}$ выполняется $a \vdots a$. Это свойство следует непосредственно из определения делимости, так как для любого натурального $a$ справедливо равенство $a = a \cdot 1$, а число 1 является натуральным.
Ответ: Отношение делимости рефлексивно.

Антисимметричность

Если первое натуральное число $a$ делится на второе натуральное число $b$, и одновременно $b$ делится на $a$, то эти числа равны. Формально, для любых $a, b \in \mathbb{N}$, если $a \vdots b$ и $b \vdots a$, то из этого следует, что $a = b$.
Доказательство: Если $a \vdots b$, то по определению существует $k \in \mathbb{N}$ такое, что $a = k \cdot b$. Если $b \vdots a$, то существует $m \in \mathbb{N}$ такое, что $b = m \cdot a$. Подставим второе равенство в первое: $a = k \cdot (m \cdot a) = (k \cdot m) \cdot a$. Поскольку $a$ — натуральное число ($a \ge 1$), мы можем разделить обе части равенства на $a$, что дает $1 = k \cdot m$. Так как $k$ и $m$ — натуральные числа, их произведение может быть равно 1 только в том случае, если $k=1$ и $m=1$. Из условия $a = k \cdot b$ при $k=1$ получаем $a=b$.
Ответ: Отношение делимости антисимметрично.

Транзитивность

Если число $a$ делится на число $b$, а число $b$ в свою очередь делится на число $c$, то число $a$ также делится на число $c$. Формально, для любых $a, b, c \in \mathbb{N}$, если $a \vdots b$ и $b \vdots c$, то $a \vdots c$.
Доказательство: Если $a \vdots b$, то $a = k \cdot b$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$. Если $b \vdots c$, то $b = m \cdot c$ для некоторого $m \in \mathbb{N}$. Подставим выражение для $b$ из второго равенства в первое: $a = k \cdot (m \cdot c) = (k \cdot m) \cdot c$. Произведение натуральных чисел $p = k \cdot m$ также является натуральным числом. Таким образом, мы имеем $a = p \cdot c$, где $p \in \mathbb{N}$, что по определению означает $a \vdots c$.
Ответ: Отношение делимости транзитивно.

Свойство частичного порядка

Совокупность трех вышеуказанных свойств (рефлексивности, антисимметричности и транзитивности) означает, что отношение делимости является отношением частичного порядка на множестве натуральных чисел. Это значит, что оно упорядочивает натуральные числа, но не все пары чисел сравнимы между собой (например, 3 не делится на 5, и 5 не делится на 3).
Ответ: Отношение делимости на множестве натуральных чисел является отношением частичного порядка.

Делимость суммы и разности

Если два натуральных числа $a$ и $b$ делятся на число $c$, то их сумма и разность также делятся на $c$ (для разности предполагается, что она является натуральным числом, т.е. $a>b$).
Доказательство: Пусть $a \vdots c$ и $b \vdots c$. Это значит, что существуют натуральные числа $k$ и $m$ такие, что $a = k \cdot c$ и $b = m \cdot c$. Тогда их сумма равна $a+b = k \cdot c + m \cdot c = (k+m) \cdot c$. Поскольку $k+m$ — натуральное число, то $(a+b) \vdots c$. Аналогично для разности: $a-b = k \cdot c - m \cdot c = (k-m) \cdot c$. При $a>b$ имеем $k>m$, поэтому $k-m$ — натуральное число, и, следовательно, $(a-b) \vdots c$.
Ответ: Если каждое из двух слагаемых делится на некоторое число, то и их сумма (и разность) делится на это число.

Делимость произведения

Если в произведении натуральных чисел хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число. Формально, если $a \vdots c$, то для любого натурального числа $b$ произведение $(a \cdot b) \vdots c$.
Доказательство: Если $a \vdots c$, значит $a = k \cdot c$ для некоторого $k \in \mathbb{N}$. Умножим обе части на $b$: $a \cdot b = (k \cdot c) \cdot b = c \cdot (k \cdot b)$. Так как $k$ и $b$ — натуральные числа, их произведение $k \cdot b$ также является натуральным числом. Следовательно, по определению, $(a \cdot b) \vdots c$.
Ответ: Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Свойства единицы

Число 1 играет особую роль в отношении делимости, являясь наименьшим элементом в множестве натуральных чисел относительно этого порядка.
1. Любое натуральное число $a$ делится на 1 ($a \vdots 1$), поскольку всегда верно равенство $a = a \cdot 1$.
2. Число 1 делится только на само себя. Если $1 \vdots a$ для натурального $a$, то из равенства $1 = k \cdot a$ (где $k \in \mathbb{N}$) следует, что $a=1$ и $k=1$.
Ответ: Любое натуральное число делится на 1, а 1 делится только на 1.