Номер 1, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что означает запись $a : b$, где $a, b$ — натуральные числа?
Чем она отличается от записи $a : b$?

Что означает запись $a \vdots b$, где $a, b$ — натуральные числа?

Запись $a \vdots b$ читается как «число $a$ делится на число $b$» или «число $a$ кратно числу $b$». Эта запись является математическим утверждением, которое описывает отношение делимости между двумя натуральными числами $a$ и $b$.
Утверждение $a \vdots b$ считается истинным (верным), если деление числа $a$ на число $b$ происходит нацело, то есть без остатка. Это значит, что существует такое натуральное число $k$, что выполняется равенство: $a = b \cdot k$
В этом случае число $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ — кратным числа $b$.
Например, запись $18 \vdots 6$ — это истинное утверждение, так как существует натуральное число $3$, такое что $18 = 6 \cdot 3$.
В то же время, запись $18 \vdots 7$ — это ложное утверждение, так как не существует натурального числа $k$, которое бы удовлетворяло равенству $18 = 7 \cdot k$.

Ответ: Запись $a \vdots b$ означает, что натуральное число $a$ делится на натуральное число $b$ нацело, то есть без остатка.

Чем она отличается от записи $a : b$?

Записи $a \vdots b$ и $a : b$ обозначают совершенно разные математические концепции и имеют принципиальные отличия.

Запись $a \vdots b$ (делимость) — это логическое утверждение, или предикат. Оно не является операцией и не имеет численного результата. Эта запись лишь констатирует факт о делимости одного числа на другое. Результатом такого утверждения может быть только одно из двух логических значений: «истина» (если $a$ делится на $b$ без остатка) или «ложь» (если при делении есть остаток).

Запись $a : b$ (деление) — это арифметическая операция. Она представляет собой действие, которое нужно выполнить: разделить число $a$ (делимое) на число $b$ (делитель). Результатом этой операции всегда является число, называемое частным. Это число может быть как натуральным ($18:6=3$), так и дробным ($18:7 \approx 2.57...$ или $2 \frac{4}{7}$).

Таким образом, утверждение $a \vdots b$ отвечает на вопрос «верно ли, что $a$ делится на $b$?», в то время как операция $a : b$ отвечает на вопрос «чему равно частное от деления $a$ на $b$?».

Ответ: Запись $a \vdots b$ — это утверждение о делимости (его результат — «истина» или «ложь»), а запись $a : b$ — это операция деления (её результат — число).