Номер 6, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Сформулируйте признак делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12, 18, 36, 45.

Признак делимости на 2

Число делится на 2 без остатка (является четным), если его последняя цифра четная, то есть равна 0, 2, 4, 6 или 8.

Обоснование: Любое натуральное число $N$ можно представить в виде $N = 10a + b$, где $b$ — это последняя цифра числа. Поскольку слагаемое $10a$ всегда делится на 2, делимость всего числа $N$ на 2 зависит только от делимости последней цифры $b$.

Ответ: Число делится на 2, если его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Обоснование: Этот признак следует из свойств сравнений по модулю. Поскольку $10 \equiv 1 \pmod{3}$, то любая степень десяти также сравнима с 1 по модулю 3: $10^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{3}$. Поэтому число $N = d_k 10^k + \dots + d_1 10 + d_0$ делится на 3 тогда и только тогда, когда на 3 делится сумма его цифр $S = d_k + \dots + d_1 + d_0$.

Ответ: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Обоснование: Любое число $N$ можно представить в виде $N = 100a + b$, где $b$ — число, состоящее из двух последних цифр числа $N$. Так как 100 делится на 4, то слагаемое $100a$ всегда делится на 4. Следовательно, делимость числа $N$ на 4 зависит только от делимости числа $b$.

Ответ: Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра — 0 или 5.

Обоснование: Аналогично признаку делимости на 2, представим число в виде $N = 10a + b$. Слагаемое $10a$ всегда делится на 5, поэтому делимость $N$ на 5 зависит только от последней цифры $b$. Из однозначных чисел на 5 делятся только 0 и 5.

Ответ: Число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 и на 3.

Обоснование: Так как $6 = 2 \times 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми, для делимости на 6 необходимо и достаточно, чтобы число делилось на каждый из этих множителей. Это значит, что число должно быть четным и сумма его цифр должна делиться на 3.

Ответ: Число делится на 6, если оно четное и сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Обоснование: Любое число $N$ можно представить как $N = 1000a + b$, где $b$ — число из трех последних цифр. Так как 1000 делится на 8 ($1000 = 8 \times 125$), то $1000a$ всегда делится на 8. Значит, делимость $N$ на 8 зависит только от делимости $b$.

Ответ: Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Обоснование: Обоснование аналогично признаку делимости на 3. Поскольку $10 \equiv 1 \pmod{9}$, то $10^k \equiv 1 \pmod{9}$. Поэтому число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Ответ: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 12

Число делится на 12, если оно одновременно делится на 3 и на 4.

Обоснование: Число 12 можно разложить на взаимно простые множители: $12 = 3 \times 4$. Следовательно, чтобы число делилось на 12, оно должно удовлетворять признакам делимости на 3 (сумма цифр делится на 3) и на 4 (число из двух последних цифр делится на 4).

Ответ: Число делится на 12, если сумма его цифр делится на 3, а число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 18

Число делится на 18, если оно одновременно делится на 2 и на 9.

Обоснование: Поскольку $18 = 2 \times 9$, и числа 2 и 9 взаимно простые, число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 (четное) и на 9 (сумма цифр делится на 9).

Ответ: Число делится на 18, если оно четное и сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 36

Число делится на 36, если оно одновременно делится на 4 и на 9.

Обоснование: Число 36 является произведением взаимно простых чисел $36 = 4 \times 9$. Таким образом, для делимости на 36 необходимо, чтобы число делилось и на 4, и на 9.

Ответ: Число делится на 36, если сумма его цифр делится на 9, а число, образованное двумя последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 45

Число делится на 45, если оно одновременно делится на 5 и на 9.

Обоснование: Разложим 45 на взаимно простые множители: $45 = 5 \times 9$. Следовательно, число делится на 45, если оно делится на 5 (оканчивается на 0 или 5) и делится на 9 (сумма его цифр делится на 9).

Ответ: Число делится на 45, если оно оканчивается на 0 или 5 и при этом сумма его цифр делится на 9.