Номер 8, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Может ли расстояние между двумя соседними простыми числами быть равным 2, 4, 6? Приведите примеры. Может ли это расстояние быть больше 2017?

Может ли расстояние между двумя соседними простыми числами быть равным 2, 4, 6? Приведите примеры.

Да, расстояние (разность) между двумя соседними простыми числами может быть равно 2, 4 и 6. Соседние простые числа — это два простых числа, между которыми нет других простых чисел.

1. Расстояние 2:
Пары простых чисел, отличающихся на 2, называют "простыми-близнецами".
Пример: Числа 3 и 5 являются соседними простыми числами. Разность между ними: $5 - 3 = 2$. Другие примеры: (5, 7), (11, 13), (17, 19).

2. Расстояние 4:
Пример: Числа 7 и 11 являются соседними простыми числами (числа 8, 9, 10 между ними — составные). Разность между ними: $11 - 7 = 4$. Другой пример: (13, 17).

3. Расстояние 6:
Пример: Числа 23 и 29 являются соседними простыми числами (числа 24, 25, 26, 27, 28 между ними — составные). Разность между ними: $29 - 23 = 6$. Другой пример: (31, 37).

Ответ: Да, может. Примеры: (3, 5) для расстояния 2; (7, 11) для расстояния 4; (23, 29) для расстояния 6.

Может ли это расстояние быть больше 2017?

Да, расстояние между двумя соседними простыми числами может быть сколь угодно большим, а значит, может быть и больше 2017.

Для доказательства этого факта достаточно показать, что можно найти последовательность составных чисел любой заданной длины. Если мы найдем последовательность из 2017 подряд идущих составных чисел, то разрыв между простым числом, стоящим до этой последовательности, и простым числом, стоящим после нее, будет как минимум $2017 + 1 = 2018$, что больше 2017.

Рассмотрим следующую последовательность из 2017 чисел, построенную с использованием факториала. Пусть $n = 2018$. Тогда рассмотрим числа:
$2018! + 2$
$2018! + 3$
$2018! + 4$
...
$2018! + 2018$

Каждое число в этой последовательности является составным. Проверим это:
- Число $2018! + 2$ делится на 2, так как $2018!$ (произведение всех целых чисел от 1 до 2018) делится на 2, и второе слагаемое (2) тоже делится на 2.
- Число $2018! + 3$ делится на 3, так как $2018!$ делится на 3, и второе слагаемое (3) тоже делится на 3.
- В общем виде, для любого целого $k$ такого, что $2 \le k \le 2018$, число $2018! + k$ будет делиться на $k$. Так как $2018!$ содержит $k$ в качестве множителя, оно делится на $k$. Второе слагаемое, $k$, очевидно, тоже делится на $k$. Значит, и вся сумма делится на $k$.

Поскольку каждое из этих чисел делится на число, большее 1 и меньшее самого себя, все 2017 чисел в последовательности от $2018! + 2$ до $2018! + 2018$ являются составными. Это создает "промежуток" длиной не менее 2017 между простыми числами.

Ответ: Да, может.