Номер 8, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Если a, b, c, d — положительные числа и $a > b$, и $c > d$, то

какое из утверждений верно:

а) $ac < bd$;

б) $ac > bd$;

в) $ac = bd$?

По условию задачи нам даны четыре положительных числа $a, b, c, d$, для которых выполняются неравенства $a > b$ и $c > d$. Нам нужно определить, какое из предложенных соотношений между произведениями $ac$ и $bd$ является верным.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством числовых неравенств. Существует правило, согласно которому неравенства одинакового знака с положительными левыми и правыми частями можно почленно перемножать. При этом знак итогового неравенства сохраняется.

У нас есть два неравенства:
$a > b$
$c > d$

Поскольку все числа $a, b, c, d$ по условию положительные, мы можем перемножить левые и правые части этих неравенств:
$a \cdot c > b \cdot d$
то есть, $ac > bd$.

Доказательство через последовательное умножение:
1. Возьмем неравенство $a > b$. Так как $c$ — положительное число ($c > 0$), мы можем умножить на него обе части неравенства, сохранив знак: $ac > bc$.
2. Теперь возьмем неравенство $c > d$. Так как $b$ — положительное число ($b > 0$), мы можем умножить на него обе части неравенства, также сохранив знак: $bc > bd$.
3. Мы получили два верных неравенства: $ac > bc$ и $bc > bd$. По свойству транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), мы можем заключить, что $ac > bd$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов, основываясь на полученном результате.

а) $ac < bd$

Это утверждение ложно, так как оно прямо противоречит выведенному нами неравенству $ac > bd$. В качестве контрпримера можно взять $a=4, b=3, c=5, d=2$. Тогда $ac = 4 \cdot 5 = 20$, а $bd = 3 \cdot 2 = 6$. Неравенство $20 < 6$ является ложным.
Ответ: неверно.

б) $ac > bd$

Это утверждение истинно. Оно в точности соответствует результату, полученному на основе свойств числовых неравенств. Произведение бoльших попарно чисел ($a$ и $c$) будет строго больше произведения меньших ($b$ и $d$), при условии, что все числа положительны.
Ответ: верно.

в) $ac = bd$

Это утверждение ложно. Так как $a > b$ и $c > d$, то есть неравенства строгие, равенство между произведениями $ac$ и $bd$ невозможно. Это также противоречит нашему выводу $ac > bd$.
Ответ: неверно.