Номер 3, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Докажите, что:

а) $|ab| = |a||b|;$

б) $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|};$

в) $|a|^2 = a^2;$

г) $|a| = |-a|.$

а) Для доказательства свойства $|ab| = |a| |b|$ воспользуемся определением модуля через квадратный корень: для любого действительного числа $x$ справедливо равенство $|x| = \sqrt{x^2}$.
Преобразуем левую часть равенства:
$|ab| = \sqrt{(ab)^2}$
Используя свойство степени произведения, получаем:
$\sqrt{(ab)^2} = \sqrt{a^2b^2}$
Далее, по свойству корня из произведения ($\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ для неотрицательных $x$ и $y$, а $a^2$ и $b^2$ всегда неотрицательны):
$\sqrt{a^2b^2} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2}$
Так как по определению $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt{b^2} = |b|$, то мы приходим к выражению в правой части исходного равенства:
$\sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} = |a| |b|$
Таким образом, $|ab| = |a| |b|$, что и требовалось доказать.
Ответ: $|ab| = |a| |b|$.

б) Для доказательства равенства $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при условии $b \neq 0$) также воспользуемся свойством $|x| = \sqrt{x^2}$.
Преобразуем левую часть:
$|\frac{a}{b}| = \sqrt{(\frac{a}{b})^2}$
Используя свойство степени частного:
$\sqrt{(\frac{a}{b})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{b^2}}$
Применяя свойство корня из частного ($\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ для $x \ge 0, y > 0$):
$\sqrt{\frac{a^2}{b^2}} = \frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}$
По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$ и $\sqrt{b^2} = |b|$. Следовательно:
$\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}} = \frac{|a|}{|b|}$
Таким образом, $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$, что и требовалось доказать.
Ответ: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$.

в) Для доказательства тождества $|a|^2 = a^2$ рассмотрим два случая, исходя из определения модуля числа $a$:
1. Если $a \ge 0$, то по определению $|a| = a$. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем $|a|^2 = a^2$.
2. Если $a < 0$, то по определению $|a| = -a$. Возводя обе части в квадрат, получаем $|a|^2 = (-a)^2$. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа, то $(-a)^2 = a^2$. Следовательно, и в этом случае $|a|^2 = a^2$.
Поскольку равенство выполняется для всех действительных чисел $a$, оно доказано.
Ответ: $|a|^2 = a^2$.

г) Для доказательства равенства $|a| = |-a|$ можно использовать свойство, доказанное в пункте в): $|x|^2 = x^2$.
Применим это свойство к выражению $|-a|$:
$|-a|^2 = (-a)^2 = a^2$
Мы также знаем, что $|a|^2 = a^2$.
Таким образом, мы имеем $|-a|^2 = |a|^2$.
Поскольку модуль любого числа является неотрицательной величиной, мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей равенства:
$\sqrt{|-a|^2} = \sqrt{|a|^2}$
$|-a| = |a|$
Равенство доказано.
Ответ: $|a| = |-a|$.