Номер 11, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Что такое среднее арифметическое чисел $a$ и $b$, что такое их среднее геометрическое? Как связаны между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел $a$ и $b$?

Что такое среднее арифметическое чисел a и b

Средним арифметическим двух чисел a и b называется число, равное половине их суммы. Оно находится путем сложения чисел и деления результата на их количество (в данном случае, на 2).
Формула для вычисления среднего арифметического:
$M_a = \frac{a + b}{2}$
где $M_a$ – обозначение среднего арифметического.

Ответ: Среднее арифметическое чисел a и b — это их полусумма, вычисляемая по формуле $\frac{a+b}{2}$.

Что такое их среднее геометрическое

Средним геометрическим двух неотрицательных чисел a и b называется число, равное квадратному корню из их произведения.
Формула для вычисления среднего геометрического:
$M_g = \sqrt{ab}$
где $M_g$ – обозначение среднего геометрического. Для извлечения корня числа должны быть неотрицательными. В контексте вопроса рассматриваются положительные числа, для которых это условие всегда выполнено.

Ответ: Среднее геометрическое чисел a и b — это квадратный корень из их произведения, вычисляемый по формуле $\sqrt{ab}$.

Как связаны между собой среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел a и b

Для любых двух положительных чисел a и b их среднее арифметическое всегда больше или равно их среднему геометрическому. Это фундаментальное соотношение в математике, известное как неравенство о средних (или неравенство Коши для n=2).
Математически это записывается так:
$\frac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$
При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда числа равны между собой, то есть $a = b$.

Доказательство этого неравенства:
1. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства: $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab}$. Наша цель — доказать, что эта разность неотрицательна (то есть $\ge 0$).
2. Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{a+b}{2} - \frac{2\sqrt{ab}}{2} = \frac{a - 2\sqrt{ab} + b}{2}$
3. Заметим, что числитель представляет собой полный квадрат разности. Так как по условию числа a и b положительные, мы можем представить их как квадраты их корней: $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$.
Тогда числитель равен:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$
4. Таким образом, вся разность принимает вид:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$
5. Выражение в скобках $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.
6. Знаменатель 2 — положительное число. Следовательно, вся дробь не может быть отрицательной:
$\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \ge 0$
7. Мы доказали, что $\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$, что равносильно $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Неравенство доказано.
8. Рассмотрим случай равенства. Равенство $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ возможно только тогда, когда $\frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = 0$. Это, в свою очередь, выполняется только если числитель равен нулю: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$. Это верно, только если $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, то есть $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, что для положительных a и b означает $a=b$.

Ответ: Среднее арифметическое двух положительных чисел a и b всегда не меньше их среднего геометрического, что выражается неравенством $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$. Равенство имеет место только при условии, что $a=b$.