Номер 5, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Дана геометрическая прогрессия $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ со знаменателем $q$. С помощью метода математической индукции докажите, что $b_n = b_1q^{n-1}$.

Для доказательства формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1q^{n-1}$ воспользуемся методом математической индукции, который состоит из двух шагов: проверки базы индукции и доказательства индукционного перехода.

Шаг 1: База индукции

Проверим, выполняется ли доказываемое утверждение для наименьшего натурального номера $n=1$. Подставим $n=1$ в формулу $b_n = b_1q^{n-1}$:

$b_1 = b_1q^{1-1}$

$b_1 = b_1q^0$

Поскольку любое число (при $q \neq 0$) в нулевой степени равно 1, то $q^0 = 1$. Таким образом, мы получаем верное равенство:

$b_1 = b_1 \cdot 1$

$b_1 = b_1$

Утверждение верно для $n=1$. База индукции доказана.

Шаг 2: Индукционный переход

Предположим, что формула верна для некоторого произвольного натурального числа $n=k$, где $k \ge 1$. Это называется индукционным предположением:

$b_k = b_1q^{k-1}$

Теперь, основываясь на этом предположении, докажем, что формула будет верна и для следующего натурального числа, то есть для $n=k+1$. Нам нужно доказать, что $b_{k+1} = b_1q^{(k+1)-1}$, то есть $b_{k+1} = b_1q^k$.

По определению геометрической прогрессии, каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на знаменатель $q$. Следовательно:

$b_{k+1} = b_k \cdot q$

Заменим в этом выражении $b_k$ на его эквивалент из нашего индукционного предположения ($b_k = b_1q^{k-1}$):

$b_{k+1} = (b_1q^{k-1}) \cdot q$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^1 = a^{m+1}$, получаем:

$b_{k+1} = b_1q^{k-1+1}$

$b_{k+1} = b_1q^k$

Мы получили в точности то равенство, которое требовалось доказать для $n=k+1$. Таким образом, индукционный переход доказан.

Поскольку оба шага метода математической индукции выполнены (база проверена, и переход доказан), мы можем заключить, что формула $b_n = b_1q^{n-1}$ верна для всех натуральных чисел $n$.

Ответ: Утверждение $b_n = b_1q^{n-1}$ доказано методом математической индукции. Что и требовалось доказать.