Номер 2, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Мысленно расположите числовую окружность, представленную на рис. 51 (с. 98), в прямоугольной декартовой системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а горизонтальный и вертикальный диаметры принадлежали осям координат. Назовите декартовы координаты точек $\frac{\pi}{6}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{11\pi}{6}$.

В задаче требуется найти декартовы координаты точек, расположенных на числовой окружности. Числовая окружность в декартовой системе координат — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом, равным 1. Для любой точки $P(t)$ на этой окружности, соответствующей числу (углу) $t$, её декартовы координаты $(x, y)$ вычисляются по формулам:

$x = \cos(t)$
$y = \sin(t)$

Вычислим координаты для каждой из указанных точек.

Точка $\frac{\pi}{6}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{\pi}{6}$, находим её координаты:

$x = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Эта точка находится в первой координатной четверти.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

Точка $\frac{2\pi}{3}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{2\pi}{3}$, находим её координаты. Угол $\frac{2\pi}{3}$ находится во второй четверти.

$x = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$y = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Эта точка находится во второй координатной четверти.

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Точка $\frac{4\pi}{3}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{4\pi}{3}$, находим её координаты. Угол $\frac{4\pi}{3}$ находится в третьей четверти.

$x = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$

$y = \sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \sin\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Эта точка находится в третьей координатной четверти.

Ответ: $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Точка $\frac{11\pi}{6}$

Для точки, соответствующей числу $t = \frac{11\pi}{6}$, находим её координаты. Угол $\frac{11\pi}{6}$ находится в четвертой четверти.

$x = \cos\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right) = \sin\left(2\pi - \frac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

Эта точка находится в четвертой координатной четверти.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)$