Номер 5, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Составьте общую формулу для всех чисел, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой:

а) 0;

б) 1;

в) -1.

Точки на числовой окружности имеют координаты $(x, y)$, где $x = \cos(t)$ и $y = \sin(t)$. Число $t$ — это действительное число, соответствующее точке на окружности, равное длине дуги от точки $(1, 0)$ до данной точки. Ордината точки — это ее координата $y$. Следовательно, задача состоит в том, чтобы найти все числа $t$, для которых $\sin(t)$ принимает заданное значение.

a)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 0. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = 0$.

На единичной окружности ординату, равную нулю, имеют две точки: это точки пересечения окружности с осью абсцисс. Их координаты $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

Точке $(1, 0)$ соответствуют числа вида $t = 0 + 2\pi k = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Точке $(-1, 0)$ соответствуют числа вида $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти два семейства решений можно объединить в одну общую формулу. Заметим, что это все точки, отстоящие друг от друга на пол-оборота ($\pi$ радиан), начиная с точки $t=0$. Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой 1. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = 1$.

На единичной окружности ординату, равную единице, имеет только одна точка — самая верхняя точка с координатами $(0, 1)$.

Этой точке соответствует число $t = \frac{\pi}{2}$. Поскольку функция синуса периодична с периодом $2\pi$, все остальные числа, соответствующие этой точке, получаются добавлением целого числа полных оборотов ($2\pi k$).

Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Нам нужно найти все числа $t$, которым на числовой окружности соответствуют точки с ординатой -1. Это значит, что мы ищем решения уравнения $\sin(t) = -1$.

На единичной окружности ординату, равную минус единице, имеет только одна точка — самая нижняя точка с координатами $(0, -1)$.

Этой точке соответствует число $t = -\frac{\pi}{2}$ (также можно взять $t = \frac{3\pi}{2}$). Используя периодичность функции синуса с периодом $2\pi$, получаем общую формулу для всех чисел, соответствующих этой точке.

Таким образом, общая формула для всех таких чисел $t$ имеет вид:

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.