Номер 6, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Объясните, почему во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны.

Для того чтобы объяснить, почему тангенс и котангенс отрицательны во второй четверти числовой окружности, необходимо рассмотреть их определения и знаки координат точек в этой четверти.

В декартовой системе координат каждой точке $P(x, y)$ на единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, сопоставляются тригонометрические функции. Синус угла определяется как ордината точки: $\sin(\alpha) = y$. Косинус угла определяется как абсцисса точки: $\cos(\alpha) = x$.

Тангенс и котангенс, в свою очередь, выражаются через синус и косинус. Тангенс — это отношение синуса к косинусу: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{y}{x}$. Котангенс — это отношение косинуса к синусу: $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \frac{x}{y}$.

Вторая четверть координатной плоскости, которой соответствуют углы от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ (или от 90° до 180°), характеризуется тем, что для любой точки $P(x, y)$ в этой области абсцисса $x$ отрицательна ($x < 0$), а ордината $y$ положительна ($y > 0$).

Следовательно, для любого угла $\alpha$ из второй четверти знаки синуса и косинуса будут следующими: $\sin(\alpha) = y$ — положительный, а $\cos(\alpha) = x$ — отрицательный.

Теперь определим знаки тангенса и котангенса.Так как $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, мы делим положительное значение (синус) на отрицательное (косинус), что в результате даёт отрицательное число.Аналогично, так как $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, мы делим отрицательное значение (косинус) на положительное (синус), что также даёт в результате отрицательное число.

Таким образом, во второй четверти числовой окружности и тангенс, и котангенс отрицательны, поскольку являются частным от деления синуса и косинуса, которые в этой четверти имеют противоположные знаки.

Ответ: Во второй четверти числовой окружности синус положителен (так как ордината $y > 0$), а косинус отрицателен (так как абсцисса $x < 0$). Тангенс, равный отношению $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, и котангенс, равный отношению $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, являются результатом деления чисел с разными знаками, поэтому их значения всегда отрицательны.