Номер 10, страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Объясните, почему

$sin (t + 2\pi n) = sin t$, $cos (t + 2\pi n) = cos t$, где $n \in \mathbf{Z}$.

Равенства $sin(t + 2\pi n) = sin(t)$ и $cos(t + 2\pi n) = cos(t)$ верны, потому что тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими. Давайте разберем это подробнее с двух точек зрения.

Объяснение через единичную окружность (геометрическое)

1. По определению, синус и косинус угла $t$ – это координаты точки $P(t)$ на единичной окружности (окружности с радиусом 1 и центром в начале координат), полученной поворотом точки $(1, 0)$ на угол $t$ против часовой стрелки. Координаты точки $P(t)$ равны $(cos(t), sin(t))$.

2. Угол в $2\pi$ радиан (или 360°) представляет собой один полный оборот вокруг окружности.

3. Когда мы к углу $t$ прибавляем $2\pi n$, где $n \in Z$ (то есть $n$ – любое целое число: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), мы фактически совершаем $n$ полных оборотов из точки $P(t)$ и возвращаемся в неё же.

• Если $n > 0$, мы делаем $n$ полных оборотов против часовой стрелки.
• Если $n < 0$, мы делаем $|n|$ полных оборотов по часовой стрелке.
• Если $n = 0$, мы остаемся на месте.

4. Во всех случаях точка, соответствующая углу $t + 2\pi n$, будет совпадать с точкой, соответствующей углу $t$. Поскольку точки на окружности совпадают, их координаты (абсцисса и ордината) также будут одинаковыми.

Следовательно, абсцисса точки $cos(t + 2\pi n)$ равна абсциссе $cos(t)$, а ордината $sin(t + 2\pi n)$ равна ординате $sin(t)$.

Объяснение через формулы сложения (алгебраическое)

Можно также доказать эти равенства, используя формулы сложения для синуса и косинуса:
$sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$
$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$

Для любого целого числа $n$, угол $2\pi n$ соответствует целому числу полных оборотов, поэтому значения синуса и косинуса для этого угла всегда одни и те же:
$cos(2\pi n) = 1$
$sin(2\pi n) = 0$

Теперь подставим эти значения в формулы сложения, взяв $\alpha = t$ и $\beta = 2\pi n$:

Для синуса:
$sin(t + 2\pi n) = sin(t)cos(2\pi n) + cos(t)sin(2\pi n) = sin(t) \cdot 1 + cos(t) \cdot 0 = sin(t)$

Для косинуса:
$cos(t + 2\pi n) = cos(t)cos(2\pi n) - sin(t)sin(2\pi n) = cos(t) \cdot 1 - sin(t) \cdot 0 = cos(t)$

Оба подхода показывают, что значения синуса и косинуса не изменяются при добавлении к их аргументу целого числа полных оборотов ($2\pi n$). Это свойство называется периодичностью, а $2\pi$ является основным (наименьшим положительным) периодом для этих функций.

Ответ: Равенства $sin(t + 2\pi n) = sin(t)$ и $cos(t + 2\pi n) = cos(t)$ верны из-за периодичности функций синуса и косинуса. Их основной период равен $2\pi$. Добавление к аргументу $t$ величины $2\pi n$ (где $n$ — целое число) соответствует совершению $n$ полных оборотов по единичной окружности, что всегда возвращает точку в ее исходное положение. Следовательно, координаты точки (косинус и синус) не изменяются.