Номер 7, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Известно, что $ctg\ t = a$, $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Вычислите $\sin\ t$, $\cos\ t$, $\operatorname{tg}\ t$.

По условию $ctg t = a$ и $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$. Это означает, что угол $t$ находится в IV координатной четверти. Для углов в IV четверти знаки тригонометрических функций следующие: $sin t < 0$, $cos t > 0$, $tg t < 0$ и $ctg t < 0$. Из того, что $ctg t = a$, следует, что параметр $a$ — отрицательное число ($a < 0$).

Для нахождения синуса используем основное тригонометрическое тождество, связывающее синус и котангенс: $1 + ctg^2 t = \frac{1}{sin^2 t}$. Подставим в это тождество известное значение $ctg t = a$: $1 + a^2 = \frac{1}{sin^2 t}$ Отсюда выразим $sin^2 t$: $sin^2 t = \frac{1}{1 + a^2}$ Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти $sin t$: $sin t = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + a^2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$ Поскольку угол $t$ принадлежит IV четверти, его синус должен быть отрицательным. Следовательно, выбираем решение со знаком "минус".

Ответ: $sin t = - \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Косинус можно найти, используя определение котангенса: $ctg t = \frac{cos t}{sin t}$. Из этого определения следует, что $cos t = sin t \cdot ctg t$. Подставим уже найденные значения для $sin t$ и $ctg t$: $cos t = \left(- \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}\right) \cdot a = - \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$. Проверим знак полученного выражения. В IV четверти косинус положителен. Так как мы установили, что $a < 0$, то числитель $-a$ будет положительным. Знаменатель $\sqrt{1 + a^2}$ всегда положителен. Таким образом, вся дробь положительна, что соответствует знаку косинуса в IV четверти.

Ответ: $cos t = - \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

Тангенс и котангенс — взаимно обратные функции, поэтому $tg t = \frac{1}{ctg t}$. Подставляем заданное значение $ctg t = a$: $tg t = \frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, значение $tg t$ также будет отрицательным, что соответствует знаку тангенса для угла в IV четверти.

Ответ: $tg t = \frac{1}{a}$.