Номер 5, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Можно ли утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$?

Для того чтобы определить, является ли функция $y = \sin x$ монотонной на отрезке $[4; 5]$, необходимо исследовать ее поведение на этом отрезке. Функция является монотонной, если на всем заданном отрезке она только возрастает или только убывает.

Наиболее надежный способ проверки монотонности — это анализ знака ее производной. Если производная функции сохраняет свой знак на всем отрезке (то есть она либо везде неотрицательна, либо везде неположительна), то функция на этом отрезке монотонна.

Найдем производную функции $y = \sin x$:
$y' = (\sin x)' = \cos x$

Теперь исследуем знак производной $y' = \cos x$ на отрезке $[4; 5]$. Важно помнить, что аргументы тригонометрических функций здесь заданы в радианах.

Нам нужно определить, меняет ли $\cos x$ знак на интервале от 4 до 5. Знак косинуса меняется в точках, где он равен нулю, то есть в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Найдем, попадает ли какая-либо из этих точек в наш отрезок.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$:
При $k=0, x = \frac{\pi}{2} \approx 1.57$ (не в отрезке $[4; 5]$)
При $k=1, x = \frac{3\pi}{2} \approx \frac{3 \cdot 3.14159}{2} \approx 4.712$
При $k=2, x = \frac{5\pi}{2} \approx \frac{5 \cdot 3.14159}{2} \approx 7.854$ (не в отрезке $[4; 5]$)

Мы видим, что точка $x = \frac{3\pi}{2}$ принадлежит отрезку $[4; 5]$, так как $4 < 4.712 < 5$.

В точке $x = \frac{3\pi}{2}$ производная $y' = \cos x$ равна нулю и меняет свой знак.
- Для $x \in [4, \frac{3\pi}{2})$, аргумент находится в третьей координатной четверти ($\pi \approx 3.14 < x < \frac{3\pi}{2} \approx 4.712$), где $\cos x < 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке убывает.
- Для $x \in (\frac{3\pi}{2}, 5]$, аргумент находится в четвертой координатной четверти ($\frac{3\pi}{2} \approx 4.712 < x < 2\pi \approx 6.28$), где $\cos x > 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ на этом промежутке возрастает.

Поскольку на отрезке $[4; 5]$ функция $y = \sin x$ сначала убывает, а затем возрастает (то есть имеет точку экстремума внутри отрезка), она не является монотонной.

Ответ: нет, утверждать, что функция $y = \sin x$ монотонна на отрезке $[4; 5]$, нельзя, так как на этом отрезке содержится точка локального минимума $x=\frac{3\pi}{2}$, в которой характер монотонности функции меняется с убывания на возрастание.