Номер 10, страница 145, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Объясните, почему уравнение $\vert\cos x\vert = 1$ имеет решения на любом числовом промежутке длиной 4.

Для начала решим уравнение $|\cos x| = 1$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Решения первого уравнения, $\cos x = 1$, имеют вид $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Решения второго уравнения, $\cos x = -1$, имеют вид $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя эти два множества решений, мы получаем все точки, в которых модуль косинуса равен единице. Это точки вида $x = \pi m$, где $m$ — любое целое число ($m \in \mathbb{Z}$). Например, это точки $\ldots, -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots$.

Теперь рассмотрим расстояние между двумя любыми соседними решениями. Возьмем два соседних решения $\pi m$ и $\pi(m+1)$. Расстояние между ними равно $|\pi(m+1) - \pi m| = |\pi m + \pi - \pi m| = \pi$. Таким образом, решения уравнения расположены на числовой оси на постоянном расстоянии $\pi$ друг от друга.

Нам нужно доказать, что на любом числовом промежутке длиной 4 есть хотя бы одно такое решение. Рассмотрим произвольный числовой промежуток длиной 4, например, интервал $[a, a+4]$. Длина этого промежутка равна 4. Как мы установили, расстояние между соседними корнями уравнения равно $\pi \approx 3.14159$.

Поскольку длина рассматриваемого промежутка, равная 4, больше, чем расстояние между соседними корнями, равное $\pi$, то такой промежуток не может целиком поместиться между двумя соседними корнями. Докажем это от противного. Предположим, что существует промежуток $[a, a+4]$, на котором нет ни одного решения уравнения $|\cos x| = 1$. Это означает, что данный промежуток целиком лежит между двумя соседними решениями, скажем $\pi m$ и $\pi(m+1)$ для некоторого целого $m$.

Математически это означает, что должны выполняться неравенства: $\pi m < a$ и $a+4 < \pi(m+1)$. Из этих двух неравенств следует, что длина промежутка $[a, a+4]$ должна быть меньше, чем расстояние между точками $\pi m$ и $\pi(m+1)$. Длина промежутка $[a, a+4]$ равна 4, а расстояние между точками $\pi m$ и $\pi(m+1)$ равно $\pi$. Следовательно, мы получаем неравенство $4 < \pi$.

Однако это неравенство является ложным, так как мы знаем, что $\pi \approx 3.14159 < 4$. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, не существует числового промежутка длиной 4, который не содержит решений уравнения $|\cos x| = 1$. Это и доказывает, что на любом числовом промежутке длиной 4 всегда найдется хотя бы одно решение данного уравнения.

Ответ: Решениями уравнения $|\cos x| = 1$ являются числа вида $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Расстояние между двумя последовательными решениями на числовой оси постоянно и равно $\pi$. Так как любой числовой промежуток длиной 4 имеет длину, большую, чем расстояние между соседними решениями ($4 > \pi \approx 3.14159$), он не может оказаться целиком в промежутке между двумя соседними решениями. Следовательно, такой промежуток обязательно содержит хотя бы одно решение.