Номер 1, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(2x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

1. Для построения графика функции $y = f(2x)$ на основе имеющегося графика функции $y = f(x)$ необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным сжатием графика.

Рассмотрим, как связаны точки на исходном и на новом графиках. Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику функции $y = f(x)$. Это означает, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Мы ищем точку $(x_1, y_1)$ на графике функции $y = f(2x)$, у которой ордината (значение по оси $y$) такая же, как у точки $(x_0, y_0)$, то есть $y_1 = y_0$. Это позволит нам увидеть, как смещается точка по горизонтали при сохранении ее высоты.

Для новой точки $(x_1, y_1)$ должно выполняться равенство $y_1 = f(2x_1)$. Подставив $y_1 = y_0$, получаем $y_0 = f(2x_1)$.

Теперь у нас есть два равенства для $y_0$:

1. $y_0 = f(x_0)$
2. $y_0 = f(2x_1)$

Сравнивая их, мы можем заключить, что аргументы функции $f$ должны быть равны: $x_0 = 2x_1$.

Выразим отсюда абсциссу новой точки $x_1$ через абсциссу исходной точки $x_0$: $x_1 = \frac{x_0}{2}$.

Таким образом, каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(x)$ соответствует точка $(\frac{x_0}{2}, y_0)$ на графике функции $y = f(2x)$. Это означает, что ордината каждой точки графика остается без изменений, а ее абсцисса уменьшается (делится) в 2 раза.

Алгоритм построения:

Чтобы построить график функции $y = f(2x)$, нужно взять график функции $y = f(x)$ и сжать его по горизонтали к оси ординат (оси $OY$) в 2 раза. Для этого:

1. 1. Выберите несколько характерных точек на графике $y = f(x)$ (например, точки пересечения с осями координат, точки экстремумов).
2. 2. Для каждой выбранной точки $(x, y)$ вычислите координаты новой точки, оставив ординату $y$ неизменной и разделив абсциссу $x$ на 2. Новая точка будет иметь координаты $(\frac{x}{2}, y)$.
3. 3. Отметьте полученные новые точки на координатной плоскости.
4. 4. Соедините новые точки плавной линией, сохраняя общую форму исходного графика.

Пример: Если на графике $y=f(x)$ есть точка $(4, 5)$, то на графике $y=f(2x)$ ей будет соответствовать точка $(\frac{4}{2}, 5) = (2, 5)$. Если была точка $(-6, 0)$, то новой точкой будет $(\frac{-6}{2}, 0) = (-3, 0)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = f(2x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо сжать исходный график вдоль оси абсцисс (горизонтально) к оси ординат в 2 раза. Для этого нужно каждую точку $(x, y)$ на исходном графике заменить точкой с координатами $(\frac{x}{2}, y)$.