Номер 2, страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Расскажите, как вы будете строить график функции $y = f(0.5x)$, если у вас имеется график функции $y = f(x)$.

Для построения графика функции $y = f(0,5x)$, имея график функции $y = f(x)$, необходимо выполнить преобразование, которое называется горизонтальным растяжением.

Общее правило

Преобразование вида $y = f(kx)$ изменяет график функции $y = f(x)$ по горизонтали. Если $0 < k < 1$, то происходит растяжение графика от оси ординат (оси OY) в $\frac{1}{k}$ раз. В данном случае $k=0,5$, поэтому коэффициент растяжения равен $\frac{1}{0,5} = 2$.

Пошаговый алгоритм

Чтобы построить новый график, нужно каждую точку $(x_0, y_0)$ исходного графика $y = f(x)$ заменить на точку $(2x_0, y_0)$. Это означает, что ордината (координата $y$) каждой точки остается прежней, а ее абсцисса (координата $x$) умножается на 2.

Обоснование

Пусть точка с координатами $(x_0, y_0)$ лежит на графике функции $y = f(x)$. Это значит, что выполняется равенство $y_0 = f(x_0)$.

Найдем, какая точка $(x_{new}, y_{new})$ на новом графике $y = f(0,5x)$ будет иметь ту же самую ординату, то есть $y_{new} = y_0$.

Для этой новой точки должно выполняться уравнение $y_{new} = f(0,5x_{new})$. Подставив $y_0$ вместо $y_{new}$, получаем $y_0 = f(0,5x_{new})$.

Так как у нас есть два равенства для $y_0$ ($y_0 = f(x_0)$ и $y_0 = f(0,5x_{new})$), мы можем приравнять их правые части: $f(x_0) = f(0,5x_{new})$.

Отсюда следует, что аргументы функции $f$ должны быть равны: $x_0 = 0,5x_{new}$.

Выразим новую абсциссу $x_{new}$ через старую $x_0$: $x_{new} = \frac{x_0}{0,5} = 2x_0$.

Таким образом, каждой точке $(x_0, y_0)$ исходного графика соответствует точка $(2x_0, y_0)$ на графике функции $y = f(0,5x)$, что и представляет собой растяжение графика от оси OY в 2 раза.

Ответ: Для построения графика функции $y = f(0,5x)$ из графика функции $y = f(x)$ необходимо растянуть исходный график в 2 раза вдоль оси абсцисс (горизонтально) относительно оси ординат. Это означает, что для каждой точки графика $y = f(x)$ нужно ее абсциссу умножить на 2, оставив ординату без изменений.