Номер 2, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Что вы можете сказать о чётности или нечётности функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из следующих равенств для любого $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Проанализируем каждую из заданных функций.

y = sin x

Область определения функции $y = \sin x$ — это все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \sin(-x)$

Используя свойство нечётности синуса, получаем: $\sin(-x) = -\sin x$.Таким образом, $y(-x) = -\sin x = -y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

y = cos x

Область определения функции $y = \cos x$ — это все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричной областью.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \cos(-x)$

Согласно свойству чётности косинуса: $\cos(-x) = \cos x$.Следовательно, $y(-x) = \cos x = y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

y = tg x

Область определения функции $y = \text{tg } x$ (где $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$) — это все действительные числа, кроме тех, при которых $\cos x = 0$. То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \text{tg}(-x)$

Используя свойства синуса и косинуса, имеем:$\text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\text{tg } x$.Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, а значит, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

y = ctg x

Область определения функции $y = \text{ctg } x$ (где $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$) — это все действительные числа, кроме тех, при которых $\sin x = 0$. То есть, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \text{ctg}(-x)$

Используя свойства тригонометрических функций, получаем:$\text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\text{ctg } x$.Следовательно, $y(-x) = -y(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.