Номер 5, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Как с помощью графика функции $y = \cos x$ построить график функции $y = \arccos x$?

Функция $y = \arccos x$ (арккосинус) является обратной к функции $y = \cos x$ (косинус). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой $y = x$. Однако, поскольку функция косинуса периодическая, для нахождения обратной функции необходимо сначала ограничить ее область определения так, чтобы на ней функция была монотонной.

Для определения функции арккосинуса в качестве основной (главного значения) выбирают участок графика $y = \cos x$, на котором она монотонно убывает. Стандартным выбором является отрезок $[0, \pi]$.
На отрезке $x \in [0, \pi]$ функция $y = \cos x$ непрерывна и монотонно убывает, принимая по одному разу все значения из отрезка $[-1, 1]$. Это гарантирует существование однозначной обратной функции.

Построение графика функции $y = \arccos x$ выполняется в несколько шагов:

1. Строим график функции $y = \cos x$.
2. На этом графике выделяем часть, которая соответствует области определения $x \in [0, \pi]$. Этот фрагмент кривой начинается в точке $(0, 1)$, пересекает ось абсцисс в точке $(\pi/2, 0)$ и заканчивается в точке $(\pi, -1)$.
3. Строим в той же системе координат прямую $y = x$, которая является осью симметрии для графиков взаимно обратных функций.
4. Выполняем симметричное отражение выделенного фрагмента графика $y = \cos x$ относительно прямой $y = x$.

Полученная в результате отражения кривая и есть график функции $y = \arccos x$.

Из построения следует, что:

• Область определения функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[-1, 1]$ (бывшая область значений для $y = \cos x$).
• Область значений функции $y = \arccos x$ — это отрезок $[0, \pi]$ (бывшая область определения для $y = \cos x$).
• График $y = \arccos x$ является убывающей функцией и проходит через ключевые точки $(1, 0)$, $(0, \pi/2)$ и $(-1, \pi)$, которые симметричны точкам $(0, 1)$, $(\pi/2, 0)$ и $(\pi, -1)$ на графике косинуса.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arccos x$ с помощью графика $y = \cos x$, необходимо сначала выделить на графике косинуса участок, соответствующий отрезку $x \in [0, \pi]$ (на котором функция монотонна). Затем этот участок графика нужно симметрично отразить относительно прямой $y=x$. Полученная в результате отражения кривая и будет являться искомым графиком функции $y = \arccos x$.