Номер 7, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Сформулируйте определение функции $y = \text{arcctg} x$.

Функция $y = \operatorname{arctg} x$ (арктангенс икс) является одной из обратных тригонометрических функций. Она является обратной к функции $y = \operatorname{tg} x$ (тангенс икс).

Так как функция $y = \operatorname{tg} x$ периодическая, для получения однозначной обратной функции ее рассматривают на интервале монотонности. В качестве такого основного интервала выбирают интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. На этом промежутке функция тангенса является строго возрастающей и принимает все действительные значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Следовательно, для нее можно определить обратную функцию, которая и называется арктангенсом.

Определение: Арктангенсом числа $x$ (обозначается $\operatorname{arctg} x$) называется такое число (угол в радианах) $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.

Это определение можно формально записать в виде равносильного утверждения:
$y = \operatorname{arctg} x \iff \begin{cases} \operatorname{tg} y = x \\ -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \end{cases}$

Это означает, что запись $y = \operatorname{arctg} x$ эквивалентна системе из двух условий:

1. Тангенс угла $y$ должен быть равен $x$.
2. Угол $y$ должен строго принадлежать интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Основные свойства функции $y = \operatorname{arctg} x$:

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$ (или $R$), то есть арктангенс можно вычислить для любого действительного числа $x$.

Область значений: $E(y) = (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что результат функции арктангенс всегда лежит в этом интервале, не включая его концы.

Четность: Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

Монотонность: Функция является строго возрастающей на всей области определения.

Асимптоты: График функции имеет две горизонтальные асимптоты: $y = \frac{\pi}{2}$ при $x \to +\infty$ и $y = -\frac{\pi}{2}$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Арктангенсом числа $x$ (пишется $\operatorname{arctg} x$) называется такое число $y$, которое одновременно удовлетворяет двум условиям: $\operatorname{tg} y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.