Номер 3, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как с помощью графика функции $y = \sin x$ построить график функции $y = \arcsin x$?

Функция $y = \arcsin x$ является обратной к функции $y = \sin x$. По общему правилу, график обратной функции можно получить, отразив график исходной функции симметрично относительно прямой $y = x$.

Однако функция $y = \sin x$ является периодической и, следовательно, не является взаимно-однозначной на всей своей области определения. Это означает, что для одного значения $y$ существует бесконечно много значений $x$. Чтобы можно было определить обратную функцию, необходимо ограничить область определения $y = \sin x$ таким интервалом, на котором она будет монотонной (то есть, либо только возрастать, либо только убывать).

По стандартному определению, для функции арксинус выбирается участок монотонного возрастания функции $y = \sin x$. Таким участком является отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $y = \sin x$ принимает все свои значения от -1 до 1 ровно по одному разу.

Таким образом, алгоритм построения графика $y = \arcsin x$ с помощью графика $y = \sin x$ следующий:

1. Строим график функции $y = \sin x$ (синусоиду).
2. На этом графике выделяем (оставляем) только ту часть, которая соответствует отрезку $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Эта часть графика проходит через точки $(-\frac{\pi}{2}, -1)$, $(0, 0)$ и $(\frac{\pi}{2}, 1)$.
3. Строим в той же системе координат прямую $y = x$ (биссектрису I и III координатных четвертей).
4. Отражаем выделенный на шаге 2 участок графика $y = \sin x$ симметрично относительно прямой $y = x$.

В результате этого симметричного отражения каждая точка $(a, b)$ на графике синуса переходит в точку $(b, a)$ на графике арксинуса. Например:

• Точка $(\frac{\pi}{2}, 1)$ с графика $y = \sin x$ переходит в точку $(1, \frac{\pi}{2})$ на графике $y = \arcsin x$.
• Точка $(0, 0)$ лежит на прямой $y=x$, поэтому она остается на месте.
• Точка $(-\frac{\pi}{2}, -1)$ с графика $y = \sin x$ переходит в точку $(-1, -\frac{\pi}{2})$ на графике $y = \arcsin x$.

Полученная кривая, проходящая через точки $(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$ и $(1, \frac{\pi}{2})$, и есть искомый график функции $y = \arcsin x$. Область определения этой функции — отрезок $[-1; 1]$, а область значений — отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

Ответ: Для построения графика функции $y = \arcsin x$ необходимо взять график функции $y = \sin x$, ограниченный отрезком $x \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, и выполнить его симметричное отражение относительно прямой $y = x$.