Номер 9, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Как связаны между собой числа $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$?

Для того чтобы установить связь между числами $\operatorname{arctg} a$ и $\operatorname{arctg}(-a)$, воспользуемся определением арктангенса и свойством нечетности функции тангенс.

По определению, арктангенс числа $x$ ($\operatorname{arctg} x$) — это такое число (угол) $y$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$. Формально:

$y = \operatorname{arctg} x \iff \operatorname{tg} y = x$ и $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Рассмотрим выражение $y = \operatorname{arctg}(-a)$.

Согласно определению, это равенство эквивалентно двум условиям:

1. $\operatorname{tg} y = -a$
2. $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

Преобразуем первое равенство, умножив обе его части на -1:

$-\operatorname{tg} y = a$

Функция тангенс является нечетной, то есть для любого угла $\alpha$ из области ее определения выполняется тождество $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}(\alpha)$.

Применим это свойство к левой части нашего равенства:

$\operatorname{tg}(-y) = a$

Теперь рассмотрим, в каком интервале лежит угол $-y$. Поскольку $y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, то, умножив все части двойного неравенства на -1, получим:

$-(-\frac{\pi}{2}) > -y > -\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} > -y > -\frac{\pi}{2}$

Или, в более привычной записи: $-y \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Таким образом, мы получили, что тангенс угла $(-y)$ равен $a$, и сам угол $(-y)$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это в точности соответствует определению арктангенса числа $a$:

$-y = \operatorname{arctg} a$

Снова умножим на -1, чтобы выразить $y$:

$y = -\operatorname{arctg} a$

Вспоминая, что в самом начале мы обозначили $y = \operatorname{arctg}(-a)$, получаем итоговое соотношение:

$\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg} a$

Это равенство означает, что арктангенс, как и тангенс, является нечетной функцией.

Ответ: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.