Номер 12, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = \text{arcctg } x.$

Для нахождения асимптот графика функции необходимо исследовать поведение функции на границах её области определения и на бесконечности. Асимптоты бывают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Рассмотрим функцию $y = \operatorname{arcctg} x$.

Вертикальные асимптоты

Вертикальные асимптоты могут существовать только в точках разрыва функции. Область определения функции $y = \operatorname{arcctg} x$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Так как функция непрерывна на всей своей области определения, у неё нет вертикальных асимптот.

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты — это прямые вида $y = b$, где $b$ является пределом функции при стремлении $x$ к $+\infty$ или $-\infty$.

Найдем предел функции при $x \to +\infty$:
$ \lim_{x \to +\infty} \operatorname{arcctg} x $

По определению, $y = \operatorname{arcctg} x$ — это такое число $y \in (0, \pi)$, что $\operatorname{ctg} y = x$. Когда $x$ стремится к $+\infty$, значение $\operatorname{ctg} y$ также стремится к $+\infty$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $0$.
Следовательно, $ \lim_{x \to +\infty} \operatorname{arcctg} x = 0 $.
Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to +\infty$.

Теперь найдем предел функции при $x \to -\infty$:
$ \lim_{x \to -\infty} \operatorname{arcctg} x $

Когда $x$ стремится к $-\infty$, значение $\operatorname{ctg} y$ также стремится к $-\infty$. В интервале $(0, \pi)$ это происходит, когда угол $y$ стремится к $\pi$.
Следовательно, $ \lim_{x \to -\infty} \operatorname{arcctg} x = \pi $.
Прямая $y=\pi$ является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to -\infty$.

Наклонные асимптоты

Наклонные асимптоты имеют вид $y = kx + b$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Если $k=0$, то наклонная асимптота является горизонтальной, которую мы уже нашли.

$ k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\operatorname{arcctg} x}{x} $

Поскольку функция $\operatorname{arcctg} x$ ограничена (ее значения лежат в интервале $(0, \pi)$), а знаменатель $x$ стремится к бесконечности, предел этого отношения равен нулю:
$k = 0$.

Это подтверждает, что у функции существуют только горизонтальные асимптоты и нет других наклонных асимптот.

Итак, у графика функции $y = \operatorname{arcctg} x$ есть две горизонтальные асимптоты.

Ответ: $y=0$ и $y=\pi$.