Номер 1, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Назовите основные методы решения тригонометрических уравнений.

Существует несколько основных методов решения тригонометрических уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнения.

1. Алгебраический метод (метод введения новой переменной)

Этот метод заключается в сведении тригонометрического уравнения к алгебраическому (линейному, квадратному, кубическому и т.д.) относительно одной из тригонометрических функций. Для этого вводится новая переменная.

Пример: Решить уравнение $2\cos^2(x) - 5\cos(x) + 2 = 0$.

Пусть $t = \cos(x)$. Так как область значений функции косинус – отрезок $[-1, 1]$, то $|t| \le 1$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Находим дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = 2$.

Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому его отбрасываем.

Возвращаемся к исходной переменной: $\cos(x) = t_1 = \frac{1}{2}$.

Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в замене тригонометрической функции новой переменной, решении полученного алгебраического уравнения и последующем решении простейших тригонометрических уравнений. Решение примера: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2. Разложение на множители

Суть метода состоит в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Это приводит к совокупности более простых уравнений: $f_1(x)=0$, $f_2(x)=0$, ..., $f_n(x)=0$.

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:

$2\sin(x)\cos(x) - \sqrt{3}\cos(x) = 0$.

Выносим общий множитель $\cos(x)$ за скобки:

$\cos(x)(2\sin(x) - \sqrt{3}) = 0$.

Уравнение распадается на два: 1) $\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $2\sin(x) - \sqrt{3} = 0 \implies \sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод применяется для преобразования уравнения в произведение нескольких сомножителей, равное нулю, что позволяет свести его к совокупности более простых уравнений. Решения примера: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Приведение к однородному уравнению

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называется уравнение вида $a\sin(x) + b\cos(x) = 0$ (где $a \ne 0, b \ne 0$). Оно решается делением обеих частей на $\cos(x)$ (или $\sin(x)$), что возможно, так как если бы $\cos(x) = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin(x) = 0$, а это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$.

Однородное уравнение второй степени имеет вид $a\sin^2(x) + b\sin(x)\cos(x) + c\cos^2(x) = 0$. Оно решается делением на $\cos^2(x)$ (при условии $a \ne 0$) и сводится к квадратному уравнению относительно $\tan(x)$.

Пример: Решить уравнение $\sin^2(x) - 3\sin(x)\cos(x) + 2\cos^2(x) = 0$.

Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на $\cos^2(x) \neq 0$:

$\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \frac{3\sin(x)\cos(x)}{\cos^2(x)} + \frac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)} = 0$.

$\tan^2(x) - 3\tan(x) + 2 = 0$.

Вводим замену $t = \tan(x)$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Возвращаемся к замене: 1) $\tan(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\tan(x) = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод заключается в делении однородного уравнения на $\cos^k(x)$ (где $k$ – степень однородности) для получения алгебраического уравнения относительно $\tan(x)$. Решения примера: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

4. Метод введения вспомогательного угла

Этот метод применяется к уравнениям вида $a\sin(x) + b\cos(x) = c$, где $a, b, c$ – некоторые коэффициенты. Суть метода в преобразовании выражения $a\sin(x) + b\cos(x)$ к виду $R\sin(x+\varphi)$ или $R\cos(x-\varphi)$.

Для этого обе части уравнения делят на $R = \sqrt{a^2+b^2}$.

Пример: Решить уравнение $\sqrt{3}\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}$.

Здесь $a = \sqrt{3}, b = 1$. Находим $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$.

Делим обе части уравнения на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Замечаем, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставляем:

$\cos(\frac{\pi}{6})\sin(x) + \sin(\frac{\pi}{6})\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

По формуле синуса суммы сворачиваем левую часть:

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решаем простейшее уравнение:

$x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

$x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Метод преобразует сумму синуса и косинуса с коэффициентами в одну тригонометрическую функцию с помощью введения вспомогательного угла. Решение примера: $x = -\frac{\pi}{6} + (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

5. Использование формул понижения степени

Метод используется для уравнений, содержащих четные степени синуса и косинуса. Применяются формулы: $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$, $\cos^2(\alpha) = \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}$. Это позволяет уменьшить степень функций в уравнении, но часто удваивает аргумент.

Пример: Решить уравнение $\cos^2(x) - \sin^2(2x) = \cos^2(3x)$.

Применим формулы понижения степени:

$\frac{1+\cos(2x)}{2} - \frac{1-\cos(4x)}{2} = \frac{1+\cos(6x)}{2}$.

Умножим на 2 и упростим: $1 + \cos(2x) - (1 - \cos(4x)) = 1 + \cos(6x)$.

$\cos(2x) + \cos(4x) - \cos(6x) - 1 = 0$.

Применим формулу суммы косинусов к первым двум слагаемым и формулу косинуса двойного угла к третьему: $2\cos(3x)\cos(x) - (2\cos^2(3x)-1) - 1 = 0$.

$2\cos(3x)\cos(x) - 2\cos^2(3x) = 0$.

$2\cos(3x)(\cos(x) - \cos(3x)) = 0$.

Это приводит к совокупности уравнений: 1) $\cos(3x) = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$. 2) $\cos(x) = \cos(3x) \implies x = \pm 3x + 2\pi k$. Отсюда получаем $x = \pi k$ и $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Серия $x = \pi k$ является частью серии $x = \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: Метод позволяет избавиться от четных степеней тригонометрических функций, заменяя их на функции первой степени с кратным аргументом. Решения примера: $x = \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi m}{3}, m \in \mathbb{Z}$.

6. Метод оценки (использование ограниченности функций)

Этот метод основан на использовании свойств ограниченности тригонометрических функций (например, $|\sin(x)| \le 1$, $|\cos(x)| \le 1$). Он применяется в тех случаях, когда можно оценить левую и правую части уравнения.

Пример: Решить уравнение $\sin(x) + \cos(4x) = 2$.

Поскольку максимальное значение синуса и косинуса равно 1, сумма $\sin(x) + \cos(4x)$ может быть равна 2 только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны 1.

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \sin(x) = 1 \\ \cos(4x) = 1 \end{cases}$

Решаем первое уравнение: $\sin(x) = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Подставляем это решение во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:

$\cos(4(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1$.

Так как второе уравнение выполняется для найденных значений $x$, то решения исходного уравнения совпадают с решениями первого уравнения системы.

Ответ: Метод основан на анализе области значений функций, входящих в уравнение. Решение возможно, когда обе части уравнения достигают своих предельных значений в одних и тех же точках. Решение примера: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

7. Универсальная тригонометрическая подстановка

Этот метод заключается в выражении всех тригонометрических функций в уравнении через тангенс половинного угла $t = \tan(\frac{x}{2})$. Используются формулы: $\sin(x) = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $\tan(x) = \frac{2t}{1-t^2}$.

Этот метод является универсальным для уравнений, рационально зависящих от $\sin(x)$ и $\cos(x)$, но часто приводит к громоздким вычислениям. Важно помнить, что при такой замене теряются корни вида $x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$, так как для них $\tan(\frac{x}{2})$ не определен. Поэтому необходимо отдельно проверять, являются ли эти значения корнями исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение $3\sin(x) - 4\cos(x) = 3$.

Применим универсальную подстановку $t = \tan(\frac{x}{2})$:

$3\frac{2t}{1+t^2} - 4\frac{1-t^2}{1+t^2} = 3$.

Умножим обе части на $1+t^2 \neq 0$:

$6t - 4(1-t^2) = 3(1+t^2)$.

$6t - 4 + 4t^2 = 3 + 3t^2$.

$t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

Возвращаемся к замене: 1) $\tan(\frac{x}{2}) = 1 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. 2) $\tan(\frac{x}{2}) = -7 \implies \frac{x}{2} = \arctan(-7) + \pi n \implies x = 2\arctan(-7) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Проверим возможную потерю корней. Подставим $x = \pi + 2\pi m$ в исходное уравнение:

$3\sin(\pi) - 4\cos(\pi) = 3 \cdot 0 - 4(-1) = 4 \neq 3$.

Значит, значения $x = \pi + 2\pi m$ не являются корнями, и мы не потеряли решений.

Ответ: Метод сводит тригонометрическое уравнение к рациональному алгебраическому уравнению относительно тангенса половинного угла, но требует проверки на потерю корней. Решения примера: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ и $x = 2\arctan(-7) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.