Номер 3, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

3. В чём состоит суть метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений?

Суть метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений состоит в том, чтобы преобразовать исходное уравнение к виду, где в левой части стоит произведение нескольких выражений (множителей), а в правой — ноль: $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot ... \cdot f_n(x) = 0$.

Это преобразование основано на свойстве произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а все остальные при этом имеют смысл (определены). Таким образом, сложное исходное уравнение заменяется совокупностью нескольких более простых уравнений:

$f_1(x) = 0$,
$f_2(x) = 0$,
...
$f_n(x) = 0$.

Решением исходного уравнения будет объединение решений всех этих более простых уравнений.

Основные шаги метода:

1. Перенести все слагаемые уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $F(x) = 0$.
2. Разложить выражение $F(x)$ на множители, используя подходящие алгебраические или тригонометрические преобразования (вынесение общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения, тригонометрических тождеств и т.д.).
3. Приравнять каждый из полученных множителей к нулю.
4. Решить каждое из получившихся простейших уравнений.
5. Объединить найденные серии корней, исключив посторонние корни, если они появились (например, из-за ограничений на область определения функций $\tan x$, $\cot x$ или наличия знаменателей).

Пример:

Решить уравнение: $\sin(2x) - \cos x = 0$.

1. Используем формулу двойного угла для синуса $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x - \cos x = 0$.

2. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки:

$\cos x (2\sin x - 1) = 0$.

3. Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

а) $\cos x = 0$

б) $2\sin x - 1 = 0$

4. Решаем каждое из них:

а) Для $\cos x = 0$ решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Для $2\sin x - 1 = 0$, имеем $\sin x = \frac{1}{2}$. Решениями являются $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5. Область допустимых значений для исходного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), поэтому посторонних корней нет. Объединяя эти два набора решений, получаем полный ответ для исходного уравнения.

Ответ:

Суть метода разложения на множители заключается в преобразовании тригонометрического уравнения к форме $f_1(x) \cdot f_2(x) = 0$, что позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x) = 0$ и $f_2(x) = 0$. Решением исходного уравнения является объединение решений этих простых уравнений с учётом области допустимых значений.