Номер 5, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Запишите в общем виде решения уравнения $tg x = a$,
$ctg x = a$.

tg x = a
Решением тригонометрического уравнения $tg x = a$ является множество всех углов $x$, тангенс которых равен числу $a$.
По определению, арктангенсом числа $a$ (обозначается как $arctg\;a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. То есть, $tg(\alpha) = a$ при $-\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.
Функция тангенс является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Это означает, что значения тангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Если $x_0$ является одним из решений уравнения $tg x = a$, то все остальные решения можно найти, прибавляя или вычитая целое число периодов $\pi$.
В качестве одного из решений $x_0$ мы берем главное значение, то есть $x_0 = arctg\;a$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения $tg x = a$ имеет вид:
$x = arctg\;a + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Эта формула справедлива для любого действительного числа $a$, так как область значений функции тангенс — это все действительные числа.
Ответ: $x = arctg\;a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

ctg x = a
Решением тригонометрического уравнения $ctg x = a$ является множество всех углов $x$, котангенс которых равен числу $a$.
По определению, арккотангенсом числа $a$ (обозначается как $arcctg\;a$) называется такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. То есть, $ctg(\alpha) = a$ при $0 < \alpha < \pi$.
Функция котангенс, так же как и тангенс, является периодической с наименьшим положительным периодом, равным $\pi$. Значения котангенса повторяются через каждый интервал длиной $\pi$. Если $x_0$ является одним из решений уравнения $ctg x = a$, то все остальные решения получаются добавлением к $x_0$ целого числа периодов.
В качестве одного из решений $x_0$ мы берем главное значение, то есть $x_0 = arcctg\;a$.
Таким образом, общая формула для всех решений уравнения $ctg x = a$ имеет вид:
$x = arcctg\;a + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Эта формула, как и в случае с тангенсом, справедлива для любого действительного числа $a$.
Ответ: $x = arcctg\;a + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.