Номер 5, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Что называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени?

Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида: $$a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$$ где $a$, $b$, $c$ – это действительные числовые коэффициенты, и хотя бы один из них отличен от нуля.

Основной характеристикой такого уравнения является то, что все его слагаемые имеют одинаковую степень относительно тригонометрических функций $\sin x$ и $\cos x$. В данном случае эта степень равна 2:

• Слагаемое $a\sin^2x$ имеет степень 2.
• Слагаемое $b\sin x \cos x$ (что эквивалентно $b\sin^1 x \cos^1 x$) имеет степень $1+1=2$.
• Слагаемое $c\cos^2x$ имеет степень 2.

Для решения такого уравнения используется стандартный метод — деление обеих частей на $\cos^2x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$).

Алгоритм решения:

1. Проверить, являются ли решения уравнения $\cos x = 0$ корнями исходного уравнения. Если подставить $\cos x = 0$ в уравнение, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2x=1$. Уравнение примет вид $a \cdot 1 + b \cdot \sin x \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что равносильно $a = 0$.
   • Если $a \neq 0$, то $\cos x$ не может быть равен нулю. Следовательно, можно смело делить уравнение на $\cos^2x$.
   • Если $a = 0$, уравнение становится $b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$. Оно решается вынесением общего множителя $\cos x$ за скобку: $\cos x(b\sin x + c\cos x) = 0$.
2. В случае, когда $a \neq 0$, разделить обе части уравнения $a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$ на $\cos^2x$: $$a\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + b\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} + c\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$
3. Упростить уравнение, используя тождество $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$: $$a\tan^2x + b\tan x + c = 0$$
4. Ввести замену переменной $t = \tan x$ и решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ относительно $t$.
5. Найти корни $t_1, t_2$ (если они существуют).
6. Вернуться к исходной переменной и решить простейшие тригонометрические уравнения $\tan x = t_1$ и $\tan x = t_2$.

Пример решения:

Решим уравнение $2\sin^2x + 3\sin x \cos x - 5\cos^2x = 0$.

1. Коэффициент при $\sin^2x$ равен $2$, то есть $a=2 \neq 0$. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить уравнение на $\cos^2x$.

2. Выполняем деление: $$2\frac{\sin^2x}{\cos^2x} + 3\frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - 5\frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$$ $$2\tan^2x + 3\tan x - 5 = 0$$

3. Вводим замену $t = \tan x$: $$2t^2 + 3t - 5 = 0$$

4. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$. $$t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 7}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$ $$t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 7}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

5. Возвращаемся к замене: $$\tan x = -2.5 \quad \text{или} \quad \tan x = 1$$

6. Находим корни: $$x = \arctan(-2.5) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением второй степени называют уравнение вида $a\sin^2x + b\sin x \cos x + c\cos^2x = 0$, где $a, b, c$ — это числовые коэффициенты, не все равные нулю, а сумма степеней тригонометрических функций в каждом слагаемом одинакова и равна двум.