Номер 4, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Запишите в общем виде решения уравнения $ \sin x = a $, где $ |a| \le 1 $.

Для решения простейшего тригонометрического уравнения $ \sin x = a $, где по условию $ |a| \le 1 $, необходимо найти все углы $x$, синус которых равен числу $a$. Решение строится на использовании обратной тригонометрической функции арксинус и учете периодичности функции синус.

1. Нахождение частных решений.
По определению, арксинус числа $a$ (обозначается как $ \arcsin a $) — это угол из отрезка $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен $a$. То есть, $ \alpha = \arcsin a $ является одним из решений (корней) уравнения.
На тригонометрической окружности синус — это ордината (координата по оси y) точки. Для заданного значения $a$ (при $ |a| < 1 $) существуют две точки на окружности с такой ординатой. Одна соответствует углу $ \alpha = \arcsin a $, а другая — углу $ \pi - \alpha = \pi - \arcsin a $, поскольку $ \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $.
Таким образом, мы имеем два частных решения на одном обороте окружности: $ \arcsin a $ и $ \pi - \arcsin a $.

2. Учет периодичности.
Функция $ y = \sin x $ является периодической с наименьшим положительным периодом $2\pi$. Это означает, что значения синуса повторяются через каждый полный оборот. Следовательно, к каждому найденному частному решению нужно добавить $ 2\pi k $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).
Это дает нам две серии решений:
$ x_1 = \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $
$ x_2 = \pi - \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

3. Общая формула.
Две полученные серии решений можно элегантно объединить в одну общую формулу. Заметим, что множитель $ (-1)^k $ равен $1$ для четных $k$ и $-1$ для нечетных $k$.
Рассмотрим формулу $ x = (-1)^k \arcsin a + \pi k $:

• Если $k$ — четное, $ k = 2n $, то $ x = (-1)^{2n} \arcsin a + \pi(2n) = \arcsin a + 2\pi n $. Это совпадает с первой серией решений.
• Если $k$ — нечетное, $ k = 2n + 1 $, то $ x = (-1)^{2n+1} \arcsin a + \pi(2n+1) = -\arcsin a + 2\pi n + \pi = \pi - \arcsin a + 2\pi n $. Это совпадает со второй серией решений.

Таким образом, эта формула охватывает все корни уравнения.

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin a + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$