Номер 4, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Что называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени?

Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида:
$a \sin x + b \cos x = 0$
где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числовые коэффициенты, причем хотя бы один из них не равен нулю ($a^2 + b^2 \neq 0$).

Ключевой особенностью такого уравнения является то, что все его члены (в данном случае $a \sin x$ и $b \cos x$) имеют одинаковую, первую, степень относительно синуса и косинуса одного и того же аргумента, а свободный член равен нулю.

Метод решения:

Основной метод решения таких уравнений — деление обеих частей на $\cos x$ (или на $\sin x$). Рассмотрим деление на $\cos x$. Этот метод можно использовать, если $\cos x \neq 0$.

Проверим, могут ли быть решения при условии $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ следует, что $\sin x = \pm 1$. Подставим эти значения в исходное уравнение:
$a \cdot (\pm 1) + b \cdot 0 = 0$
$\pm a = 0$, что означает $a = 0$.

Вывод:

• Если коэффициент $a = 0$, то уравнение принимает вид $b \cos x = 0$. Так как по условию $b \neq 0$ (иначе уравнение тривиально), решением будет $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Если коэффициент $a \neq 0$, то $\cos x$ не может быть равен нулю, так как это привело бы к тому, что и $a=0$. Следовательно, в этом случае можно без потери корней разделить обе части уравнения на $\cos x$.

Итак, при $a \neq 0$ делим обе части уравнения $a \sin x + b \cos x = 0$ на $\cos x$:
$a \frac{\sin x}{\cos x} + b \frac{\cos x}{\cos x} = 0$

Используя определение тангенса $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, получаем простейшее тригонометрическое уравнение:
$a \tan x + b = 0$
$\tan x = -\frac{b}{a}$

Решение этого уравнения имеет вид:
$x = \arctan(-\frac{b}{a}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
или, что то же самое:
$x = -\arctan(\frac{b}{a}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Пример:

Решить уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 0$.
Здесь $a = 1, b = \sqrt{3}$. Так как $a \neq 0$, делим обе части на $\cos x$:
$\frac{\sin x}{\cos x} + \sqrt{3}\frac{\cos x}{\cos x} = 0$
$\tan x + \sqrt{3} = 0$
$\tan x = -\sqrt{3}$
$x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$
$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Однородным тригонометрическим уравнением первой степени называют уравнение вида $a \sin x + b \cos x = 0$, где $a$ и $b$ — коэффициенты, из которых хотя бы один не равен нулю.