Номер 2, страница 215, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. В чём состоит суть метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений?

Суть метода введения новой переменной (или метода замены) при решении тригонометрических уравнений заключается в том, чтобы свести сложное тригонометрическое уравнение к более простому, как правило, алгебраическому уравнению (квадратному, дробно-рациональному и т.д.). Этот метод позволяет упростить структуру исходного уравнения, решив его в несколько шагов.

Алгоритм применения метода следующий:

1. Анализ уравнения и преобразование. Уравнение преобразуют таким образом, чтобы оно содержало одну и ту же тригонометрическую функцию от одного и того же аргумента. Для этого могут использоваться основные тригонометрические тождества (например, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), формулы приведения, формулы двойного или половинного угла и т.д.
2. Введение новой переменной. Повторяющееся в уравнении тригонометрическое выражение заменяют новой переменной. Например, пусть $\sin x = t$. На этом шаге крайне важно определить область допустимых значений для новой переменной. Например, для $t = \sin x$ или $t = \cos x$ справедливо ограничение $|t| \le 1$, а для $t = \tan x$ или $t = \cot x$ переменная $t$ может принимать любые действительные значения.
3. Решение нового уравнения. Решают полученное алгебраическое уравнение относительно введенной переменной $t$.
4. Отбор корней. Из найденных значений $t$ выбирают только те, которые удовлетворяют ограничениям, установленным на шаге 2.
5. Обратная замена. Для каждого подходящего корня $t$ выполняют обратную замену, что приводит к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям. Например, если был найден корень $t_1$, то решают уравнение $\sin x = t_1$.
6. Решение простейших тригонометрических уравнений. Находят все решения полученных простейших уравнений, которые и будут являться решениями исходного уравнения.

Рассмотрим применение метода на примере.

Пример: Решить уравнение $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$.

1. Уравнение уже содержит только одну функцию $\sin x$.
2. Введем новую переменную. Пусть $\sin x = t$. Так как область значений функции синус от $-1$ до $1$ включительно, то $|t| \le 1$.
3. Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение: $2t^2 - 5t + 2 = 0$.
4. Решим это уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$. Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
5. Проверим корни на соответствие условию $|t| \le 1$. Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию, так как $|\frac{1}{2}| \le 1$. Корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $|2| > 1$. Этот корень является посторонним.
6. Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = \frac{1}{2}$: $\sin x = \frac{1}{2}$.
7. Решим простейшее тригонометрическое уравнение. $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, с помощью замены сложная задача была сведена к последовательному решению двух более простых: квадратного уравнения и простейшего тригонометрического.

Ответ: Суть метода введения новой переменной при решении тригонометрических уравнений состоит в замене повторяющегося тригонометрического выражения новой переменной с целью упрощения исходного уравнения и приведения его к стандартному алгебраическому виду (например, квадратному). После нахождения значений новой переменной и отсева неподходящих корней выполняется обратная замена, и задача сводится к решению одного или нескольких простейших тригонометрических уравнений.