Номер 2, страница 206, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

вопрос: если $t_0$ — одно из решений уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, то как записать все остальные решения?

Для решения этого вопроса воспользуемся понятием числовой окружности. На числовой окружности значение $\sin t$ соответствует ординате (координате по оси $y$) точки, соответствующей числу $t$.

Условие $\sin t = \frac{1}{3}$ означает, что мы ищем все точки на числовой окружности, у которых ордината равна $\frac{1}{3}$. Для этого мы можем провести горизонтальную прямую $y = \frac{1}{3}$. Эта прямая пересекает единичную окружность в двух точках, поскольку $-1 < \frac{1}{3} < 1$.

Пусть одна из этих точек соответствует данному решению $t_0$. Это означает, что точка $P_0$ на окружности, полученная поворотом на угол $t_0$ от начальной точки $(1, 0)$, имеет координаты $(x_0, \frac{1}{3})$.

Первая серия решений

Функция синуса является периодической с основным периодом $2\pi$. Это означает, что если мы совершим любое целое число полных оборотов по окружности из точки $P_0$, мы вернемся в ту же самую точку. Следовательно, все числа (углы) вида $t_0 + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$), также будут решениями уравнения. Это дает нам первую серию решений:

$t = t_0 + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Вторая серия решений

Вторая точка пересечения прямой $y = \frac{1}{3}$ с окружностью симметрична точке $P_0$ относительно оси ординат ($Oy$). Если первой точке соответствует число $t_0$, то симметричной ей точке соответствует число $\pi - t_0$. Значение синуса для этого числа также будет равно $\frac{1}{3}$.

Аналогично первой серии, из-за периодичности функции синуса, все числа вида $\pi - t_0 + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$), также являются решениями. Это дает нам вторую серию решений:

$t = \pi - t_0 + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$

Объединив эти две серии, мы получаем полный набор всех решений уравнения.

Ответ: Все решения уравнения $\sin t = \frac{1}{3}$, если $t_0$ — одно из решений, записываются в виде двух серий: $t = t_0 + 2\pi k$ и $t = \pi - t_0 + 2\pi n$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.