Номер 10, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Как связаны между собой числа $ \text{arcctg } a $ и $ \text{arcctg } (-a) $?

Чтобы установить связь между числами $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$, воспользуемся определением функции арккотангенса и свойствами котангенса.

Функция $y = arcctg(x)$ (арккотангенс числа $x$) определяется как число $y$ из интервала $(0, \pi)$, для которого $ctg(y) = x$.

Обозначим $y = arcctg(-a)$. Согласно определению арккотангенса, это означает, что одновременно выполняются два условия:

1. $ctg(y) = -a$
2. $0 < y < \pi$

Используем известное тригонометрическое тождество для котангенса, которое связывает значения функции для противоположных углов (смежных с $\pi$): $ctg(\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$.

Из первого условия $ctg(y) = -a$ мы можем выразить $a$: $a = -ctg(y)$.

Применив указанное выше тождество, получим: $a = ctg(\pi - y)$.

Теперь необходимо убедиться, что угол $\pi - y$ принадлежит области значений арккотангенса, то есть интервалу $(0, \pi)$. Мы знаем, что $0 < y < \pi$. Умножим это двойное неравенство на $-1$, что приведет к изменению знаков неравенства: $ -\pi < -y < 0 $

Теперь прибавим $\pi$ ко всем частям неравенства: $ \pi - \pi < \pi - y < \pi + 0 $

В результате получаем: $0 < \pi - y < \pi$.

Итак, мы имеем угол $z = \pi - y$, для которого $ctg(z) = a$ и $z$ лежит в интервале $(0, \pi)$. Это в точности соответствует определению арккотангенса от числа $a$. Следовательно: $ \pi - y = arcctg(a) $

Вспоминая, что мы изначально обозначили $y = arcctg(-a)$, подставляем это выражение в полученное равенство: $ \pi - arcctg(-a) = arcctg(a) $

Это и есть искомая связь. Её также можно записать в симметричной форме, выразив сумму арккотангенсов: $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.

Ответ: Числа $arcctg(a)$ и $arcctg(-a)$ связаны соотношением $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$, или, что эквивалентно, $arcctg(a) + arcctg(-a) = \pi$.