Номер 6, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Как связаны между собой числа $\arccos a$ и $\arccos (-a)$, где $|a| \le 1$?

Чтобы установить связь между числами $arccos(a)$ и $arccos(-a)$, мы воспользуемся определением арккосинуса и основными тригонометрическими тождествами.

По определению, $y = arccos(x)$ является таким углом $y$, что $cos(y) = x$ и $0 \le y \le \pi$. Условие $|a| \le 1$ обеспечивает, что арккосинусы от $a$ и $-a$ определены.

1. Обозначим $\alpha = arccos(a)$.
Из определения следует, что $cos(\alpha) = a$ и $0 \le \alpha \le \pi$.

2. Обозначим $\beta = arccos(-a)$.
Из определения следует, что $cos(\beta) = -a$ и $0 \le \beta \le \pi$.

3. Теперь свяжем эти два выражения. Подставим $a$ из пункта 1 в равенство из пункта 2:
$cos(\beta) = -(cos(\alpha))$.

4. Воспользуемся формулой приведения для косинуса: $cos(\pi - x) = -cos(x)$.
Применив эту формулу к нашему равенству, получаем:
$cos(\beta) = cos(\pi - \alpha)$.

5. Мы знаем, что оба угла, $\beta$ и $\alpha$, находятся в диапазоне $[0, \pi]$. Проверим, в каком диапазоне находится угол $\pi - \alpha$:
Поскольку $0 \le \alpha \le \pi$, то умножив на -1, получим $0 \ge -\alpha \ge -\pi$, или $-\pi \le -\alpha \le 0$.
Прибавив $\pi$ ко всем частям неравенства, получим $\pi - \pi \le \pi - \alpha \le \pi + 0$, что дает $0 \le \pi - \alpha \le \pi$.

6. Итак, мы имеем равенство $cos(\beta) = cos(\pi - \alpha)$, причем оба угла, $\beta$ и $\pi - \alpha$, принадлежат отрезку $[0, \pi]$. На этом отрезке функция косинуса является строго убывающей, а значит, инъективной (каждое значение принимается только один раз). Следовательно, из равенства косинусов углов следует равенство самих углов:
$\beta = \pi - \alpha$.

7. Наконец, подставим обратно исходные выражения для $\alpha$ и $\beta$:
$arccos(-a) = \pi - arccos(a)$.

Это соотношение можно также записать в симметричной форме: $arccos(a) + arccos(-a) = \pi$.

Ответ: Числа $arccos(a)$ и $arccos(-a)$ связаны соотношением $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$ или, что эквивалентно, $arccos(a) + arccos(-a) = \pi$.