Номер 2, страница 184, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как связаны между собой числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin (-a) $, где $ |a| \le 1 $?

Для того чтобы определить связь между $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $, воспользуемся определением арксинуса. Условие $ |a| \le 1 $ гарантирует, что арксинус существует как для числа $ a $, так и для $ -a $.

Пусть $ x = \arcsin a $. По определению арксинуса, это эквивалентно двум условиям:

1. $ \sin x = a $

2. $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $

Теперь пусть $ y = \arcsin(-a) $. Аналогично, по определению, это означает:

1. $ \sin y = -a $

2. $ -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} $

Подставим $ a = \sin x $ из первого равенства в равенство $ \sin y = -a $:

$ \sin y = -\sin x $

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $ -\sin x = \sin(-x) $. Тогда наше уравнение принимает вид:

$ \sin y = \sin(-x) $

Теперь рассмотрим, в каком промежутке находится значение $ -x $. Так как $ -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2} $, то, умножив все части неравенства на -1, получим $ \frac{\pi}{2} \ge -x \ge -\frac{\pi}{2} $, или, что то же самое, $ -\frac{\pi}{2} \le -x \le \frac{\pi}{2} $.

Таким образом, оба угла, $ y $ и $ -x $, принадлежат отрезку $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $. На этом отрезке функция синус является строго монотонной (возрастающей). Поэтому из равенства синусов $ \sin y = \sin(-x) $ следует и равенство самих аргументов:

$ y = -x $

Вспоминая наши обозначения $ x = \arcsin a $ и $ y = \arcsin(-a) $, получаем итоговое соотношение:

$ \arcsin(-a) = -\arcsin a $

Это свойство означает, что арксинус является нечетной функцией, а числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $ являются противоположными для любого $ a $ из области определения.

Ответ: Числа $ \arcsin a $ и $ \arcsin(-a) $ связаны соотношением $ \arcsin(-a) = -\arcsin a $. Они являются противоположными числами, так как функция арксинус нечетная.