Номер 4, страница 165, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ (воспользуйтесь утверждением в конце § 9).

Вертикальные асимптоты графика функции – это вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к определенной точке, в которой функция не определена и уходит в бесконечность.

Функция котангенса задается отношением $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Вертикальные асимптоты для этой функции существуют в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю, так как это приводит к делению на ноль. Найдем эти точки, решив уравнение:
$\sin x = 0$
Решениями этого уравнения является множество значений $x = \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$, поэтому функция действительно уходит в бесконечность.

Под "главной ветвью" графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ обычно понимают ту часть графика, которая расположена на интервале $(0, \pi)$. Этот интервал является основным периодом, на котором функция принимает все свои значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Границы этого интервала, $x=0$ (при $k=0$) и $x=\pi$ (при $k=1$), являются вертикальными асимптотами для главной ветви.
Рассмотрим поведение функции на границах интервала $(0, \pi)$:

• Когда $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\cos x \to 1$ и $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому $y = \operatorname{ctg} x \to +\infty$.
• Когда $x$ стремится к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$), $\cos x \to -1$ и $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому $y = \operatorname{ctg} x \to -\infty$.

Таким образом, прямые $x=0$ и $x=\pi$ являются вертикальными асимптотами главной ветви графика функции.

Ответ: Вертикальными асимптотами главной ветви графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ являются прямые $x=0$ и $x=\pi$.