Страница 165, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Можно ли утверждать, что $17\pi$ – период функции $y = \mathrm{tg} x$,

a. $-20\pi$ – период функции $y = \mathrm{ctg} x$?

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, соответствуют ли предложенные числа определению периода для каждой из функций.

По определению, число $T \neq 0$ является периодом функции $f(x)$, если для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$. Если функция имеет наименьший положительный (основной) период $T_0$, то любое число вида $T = k \cdot T_0$, где $k$ — любое целое ненулевое число ($k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$), также является ее периодом.

Можно ли утверждать, что 17? — период функции y = tg x

Основной период функции тангенса $y = \operatorname{tg} x$ равен $T_0 = \pi$. Любой другой период этой функции должен иметь вид $T = k \cdot \pi$, где $k$ — целое ненулевое число. Проверим, можно ли представить число $17\pi$ в этом виде: $$17\pi = k \cdot \pi$$ Отсюда, разделив обе части на $\pi$, получаем $k = 17$. Поскольку $k = 17$ является целым ненулевым числом, $17\pi$ является периодом функции $y = \operatorname{tg} x$.

Ответ: да, можно.

а -20? — период функции y = ctg x?

Основной период функции котангенса $y = \operatorname{ctg} x$ также равен $T_0 = \pi$. Любой другой период этой функции должен иметь вид $T = k \cdot \pi$, где $k$ — целое ненулевое число. Проверим, можно ли представить число $-20\pi$ в этом виде: $$-20\pi = k \cdot \pi$$ Отсюда, разделив обе части на $\pi$, получаем $k = -20$. Поскольку $k = -20$ является целым ненулевым числом, $-20\pi$ является периодом функции $y = \operatorname{ctg} x$.

Ответ: да, можно.

2. Что вы можете сказать о чётности или нечётности функций $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \operatorname{tg} x$, $y = \operatorname{ctg} x$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x)$ необходимо проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметричной относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также должен принадлежать ей).
2. Должно выполняться одно из следующих равенств для любого $x$ из области определения:
   • $f(-x) = f(x)$ — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ — в этом случае функция является нечётной.

Если область определения несимметрична или ни одно из равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Проанализируем каждую из заданных функций.

y = sin x

Область определения функции $y = \sin x$ — это все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \sin(-x)$

Используя свойство нечётности синуса, получаем: $\sin(-x) = -\sin x$.Таким образом, $y(-x) = -\sin x = -y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

y = cos x

Область определения функции $y = \cos x$ — это все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричной областью.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \cos(-x)$

Согласно свойству чётности косинуса: $\cos(-x) = \cos x$.Следовательно, $y(-x) = \cos x = y(x)$.Поскольку выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

y = tg x

Область определения функции $y = \text{tg } x$ (где $\text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}$) — это все действительные числа, кроме тех, при которых $\cos x = 0$. То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \text{tg}(-x)$

Используя свойства синуса и косинуса, имеем:$\text{tg}(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\text{tg } x$.Таким образом, $y(-x) = -y(x)$, а значит, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

y = ctg x

Область определения функции $y = \text{ctg } x$ (где $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$) — это все действительные числа, кроме тех, при которых $\sin x = 0$. То есть, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.Проверим значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \text{ctg}(-x)$

Используя свойства тригонометрических функций, получаем:$\text{ctg}(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\sin x} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\text{ctg } x$.Следовательно, $y(-x) = -y(x)$, и функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

3. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика

функции $y = \operatorname{tg} x$.

Функция тангенса, $y = \tg x$, определяется как отношение синуса к косинусу: $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Вертикальные асимптоты графика функции — это вертикальные прямые, к которым график функции неограниченно приближается. Для функции тангенса они находятся в тех точках, где функция не определена. Это происходит, когда знаменатель дроби $\frac{\sin x}{\cos x}$ равен нулю, то есть при $\cos x = 0$.

Решением уравнения $\cos x = 0$ является серия значений $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Это уравнения всех вертикальных асимптот графика функции $y = \tg x$.

Главной ветвью графика функции $y = \tg x$ называется его часть, расположенная на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Этот интервал ограничен двумя вертикальными асимптотами, которые соответствуют значениям $n= -1$ и $n=0$ в общей формуле.

1. При $n = -1$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(-1) = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}$.
2. При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2} + \pi(0) = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, вертикальными асимптотами, ограничивающими главную ветвь графика функции $y = \tg x$, являются прямые $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{\pi}{2}$.

4. Назовите вертикальные асимптоты главной ветви графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ (воспользуйтесь утверждением в конце § 9).

Вертикальные асимптоты графика функции – это вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции, когда аргумент $x$ стремится к определенной точке, в которой функция не определена и уходит в бесконечность.

Функция котангенса задается отношением $y = \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

Вертикальные асимптоты для этой функции существуют в точках, где знаменатель $\sin x$ равен нулю, так как это приводит к делению на ноль. Найдем эти точки, решив уравнение:
$\sin x = 0$
Решениями этого уравнения является множество значений $x = \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). В этих точках $\cos(\pi k) = (-1)^k \neq 0$, поэтому функция действительно уходит в бесконечность.

Под "главной ветвью" графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ обычно понимают ту часть графика, которая расположена на интервале $(0, \pi)$. Этот интервал является основным периодом, на котором функция принимает все свои значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Границы этого интервала, $x=0$ (при $k=0$) и $x=\pi$ (при $k=1$), являются вертикальными асимптотами для главной ветви.
Рассмотрим поведение функции на границах интервала $(0, \pi)$:

• Когда $x$ стремится к $0$ справа ($x \to 0^+$), $\cos x \to 1$ и $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому $y = \operatorname{ctg} x \to +\infty$.
• Когда $x$ стремится к $\pi$ слева ($x \to \pi^-$), $\cos x \to -1$ и $\sin x \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому $y = \operatorname{ctg} x \to -\infty$.

Таким образом, прямые $x=0$ и $x=\pi$ являются вертикальными асимптотами главной ветви графика функции.

Ответ: Вертикальными асимптотами главной ветви графика функции $y = \operatorname{ctg} x$ являются прямые $x=0$ и $x=\pi$.

26.32. Постройте график функции:

a) $y = \sin (3\pi + 3x) \sin \left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \sin \left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \sin (4\pi - x) + \sin \frac{99\pi}{2}$;

б) $y = \cos (\pi + x) \cos \left(3\pi - \frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{\pi}{2} + x\right) \cos \frac{3\pi + x}{2} + \cos \frac{16\pi}{3}$.

а) Исходная функция: $y = \sin(3\pi + 3x) \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) \sin(4\pi - x) + \sin\frac{99\pi}{2}$.
Упростим каждое слагаемое, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
1. $\sin(3\pi + 3x) = \sin(\pi + 2\pi + 3x) = \sin(\pi + 3x) = -\sin(3x)$.
2. $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos(x)$.
3. $\sin\left(\frac{\pi}{2} + 3x\right) = \cos(3x)$.
4. $\sin(4\pi - x) = \sin(2 \cdot 2\pi - x) = \sin(-x) = -\sin(x)$.
5. $\sin\frac{99\pi}{2} = \sin\left(\frac{96\pi + 3\pi}{2}\right) = \sin\left(48\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(24 \cdot 2\pi + \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$.

Подставим упрощенные выражения в исходную формулу:
$y = (-\sin(3x)) \cdot (-\cos(x)) + (\cos(3x)) \cdot (-\sin(x)) - 1$
$y = \sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x) - 1$

Применим формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$, где $\alpha = 3x$ и $\beta = x$:
$y = \sin(3x - x) - 1$
$y = \sin(2x) - 1$

График функции $y = \sin(2x) - 1$ получается из графика функции $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями:
1. Сжатие по оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) на 1 единицу вниз.
Область значений функции: $[-1 - 1, 1 - 1]$, то есть $[-2, 0]$.
Для построения графика можно найти ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, \pi]$:
- При $x=0$, $y = \sin(0) - 1 = -1$.
- При $x=\frac{\pi}{4}$, $y = \sin(\frac{\pi}{2}) - 1 = 1 - 1 = 0$.
- При $x=\frac{\pi}{2}$, $y = \sin(\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.
- При $x=\frac{3\pi}{4}$, $y = \sin(\frac{3\pi}{2}) - 1 = -1 - 1 = -2$.
- При $x=\pi$, $y = \sin(2\pi) - 1 = 0 - 1 = -1$.
График представляет собой синусоиду, колеблющуюся между $y=-2$ и $y=0$ с периодом $\pi$.

Ответ: $y = \sin(2x) - 1$.

б) Исходная функция: $y = \cos(\pi + x)\cos\left(3\pi - \frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)\cos\frac{3\pi + x}{2} + \cos\frac{16\pi}{3}$.
Упростим каждое слагаемое, используя формулы приведения и периодичность тригонометрических функций.
1. $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$.
2. $\cos\left(3\pi - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\pi + 2\pi - \frac{x}{2}\right) = \cos\left(\pi - \frac{x}{2}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right)$.
3. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x)$.
4. $\cos\frac{3\pi + x}{2} = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = \sin\left(\frac{x}{2}\right)$.
5. $\cos\frac{16\pi}{3} = \cos\left(\frac{12\pi + 4\pi}{3}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.

Подставим упрощенные выражения в исходную формулу:
$y = (-\cos(x)) \cdot \left(-\cos\frac{x}{2}\right) - (-\sin(x)) \cdot \left(\sin\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$
$y = \cos(x)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \sin(x)\sin\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$

Применим формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$, где $\alpha = x$ и $\beta = \frac{x}{2}$:
$y = \cos\left(x - \frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$
$y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$

График функции $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ следующими преобразованиями:
1. Растяжение по оси абсцисс (Ox) в 2 раза. Период функции становится равным $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Сдвиг вдоль оси ординат (Oy) на $\frac{1}{2}$ единицы вниз.
Область значений функции: $[-1 - \frac{1}{2}, 1 - \frac{1}{2}]$, то есть $[-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}]$.
Для построения графика можно найти ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0, 4\pi]$:
- При $x=0$, $y = \cos(0) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
- При $x=\pi$, $y = \cos(\frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
- При $x=2\pi$, $y = \cos(\pi) - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
- При $x=3\pi$, $y = \cos(\frac{3\pi}{2}) - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.
- При $x=4\pi$, $y = \cos(2\pi) - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся между $y=-\frac{3}{2}$ и $y=\frac{1}{2}$ с периодом $4\pi$.

Ответ: $y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}$.

26.33. Докажите равенство:

а) $\frac{\sin 50^{\circ} + \cos 50^{\circ}}{\sqrt{2} \sin 85^{\circ}} = 1;$

б) $\frac{\cos 40^{\circ} - \sqrt{3} \sin 40^{\circ}}{\sin 190^{\circ}} = 2.$

а)

Докажем равенство $ \frac{\sin 50^\circ + \cos 50^\circ}{\sqrt{2} \sin 85^\circ} = 1 $.
Преобразуем левую часть равенства. Для начала рассмотрим числитель: $ \sin 50^\circ + \cos 50^\circ $.
Используя формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(90^\circ - \alpha) $, заменим $ \cos 50^\circ $:
$ \cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ $.
Тогда числитель примет вид: $ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ $.
Применим формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $.
$ \sin 50^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin \frac{50^\circ + 40^\circ}{2} \cos \frac{50^\circ - 40^\circ}{2} = 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ $.
Зная, что $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:
$ 2 \sin 45^\circ \cos 5^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos 5^\circ = \sqrt{2} \cos 5^\circ $.
Теперь подставим полученное выражение в числитель исходной дроби:
$ \frac{\sqrt{2} \cos 5^\circ}{\sqrt{2} \sin 85^\circ} $.
Сократим $ \sqrt{2} $: $ \frac{\cos 5^\circ}{\sin 85^\circ} $.
Преобразуем знаменатель, используя формулу приведения $ \sin \alpha = \cos(90^\circ - \alpha) $:
$ \sin 85^\circ = \sin(90^\circ - 5^\circ) = \cos 5^\circ $.
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{\cos 5^\circ}{\cos 5^\circ} = 1 $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б)

Докажем равенство $ \frac{\cos 40^\circ - \sqrt{3} \sin 40^\circ}{\sin 190^\circ} = 2 $.
Преобразуем левую часть равенства. Сначала рассмотрим числитель, используя метод вспомогательного угла. Вынесем множитель $ \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2 $ за скобки:
$ \cos 40^\circ - \sqrt{3} \sin 40^\circ = 2 \left( \frac{1}{2} \cos 40^\circ - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^\circ \right) $.
Мы знаем, что $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $ и $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Подставим эти значения в выражение:
$ 2 (\sin 30^\circ \cos 40^\circ - \cos 30^\circ \sin 40^\circ) $.
Выражение в скобках соответствует формуле синуса разности: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $.
$ 2 \sin(30^\circ - 40^\circ) = 2 \sin(-10^\circ) $.
Так как синус является нечетной функцией, $ \sin(-\alpha) = -\sin \alpha $, то:
$ 2 \sin(-10^\circ) = -2 \sin 10^\circ $.
Теперь преобразуем знаменатель: $ \sin 190^\circ $.
Используем формулу приведения $ \sin(180^\circ + \alpha) = -\sin \alpha $:
$ \sin 190^\circ = \sin(180^\circ + 10^\circ) = -\sin 10^\circ $.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{-2 \sin 10^\circ}{-\sin 10^\circ} = 2 $.
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

26.34. Докажите, что:

a) $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, x \in [-1; 1];$

б) $\text{arctg } x + \text{arcctg } x = \frac{\pi}{2}, x \in \mathbb{R}.$

а)

Необходимо доказать, что для любого $x \in [-1, 1]$ выполняется равенство $arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2}$.

Пусть $a = arcsin x$. По определению арксинуса, это означает, что:
1) $sin(a) = x$
2) $a \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

Наша задача — доказать, что $a + arccos x = \frac{\pi}{2}$, или, что то же самое, $arccos x = \frac{\pi}{2} - a$.

Чтобы доказать это равенство, нам нужно, согласно определению арккосинуса, показать две вещи:
1) $cos(\frac{\pi}{2} - a) = x$
2) $\frac{\pi}{2} - a \in [0, \pi]$

Проверка первого условия:
Используя формулу приведения для косинуса, получаем: $cos(\frac{\pi}{2} - a) = sin(a)$.
Поскольку из нашего первоначального предположения $sin(a) = x$, то мы получаем $cos(\frac{\pi}{2} - a) = x$. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия:
Мы знаем, что угол $a$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} \le a \le \frac{\pi}{2}$
Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:
$\frac{\pi}{2} \ge -a \ge -\frac{\pi}{2}$
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \ge \frac{\pi}{2} - a \ge \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
Упрощая, получаем:
$\pi \ge \frac{\pi}{2} - a \ge 0$, что эквивалентно $0 \le \frac{\pi}{2} - a \le \pi$.
Таким образом, угол $\frac{\pi}{2} - a$ действительно принадлежит отрезку $[0, \pi]$, который является областью значений арккосинуса. Второе условие также выполнено.

Поскольку оба условия определения арккосинуса для угла $\frac{\pi}{2} - a$ выполняются ($cos(\frac{\pi}{2} - a) = x$ и $\frac{\pi}{2} - a \in [0, \pi]$), мы можем заключить, что $arccos x = \frac{\pi}{2} - a$.

Подставляя обратно $a = arcsin x$, получаем: $arccos x = \frac{\pi}{2} - arcsin x$.

Перенося $arcsin x$ в левую часть равенства, мы получаем тождество, которое требовалось доказать:
$arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Тождество $arcsin x + arccos x = \frac{\pi}{2}$ для $x \in [-1; 1]$ доказано.

б)

Необходимо доказать, что для любого $x \in R$ (для любого действительного числа $x$) выполняется равенство $arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$.

Пусть $b = arctg x$. По определению арктангенса, это означает, что:
1) $\operatorname{tg}(b) = x$
2) $b \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

Наша задача — доказать, что $arcctg x = \frac{\pi}{2} - b$.

Согласно определению арккотангенса, для этого нужно показать, что:
1) $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - b) = x$
2) $\frac{\pi}{2} - b \in (0, \pi)$

Проверка первого условия:
Используя формулу приведения для котангенса, получаем: $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - b) = \operatorname{tg}(b)$.
Так как $\operatorname{tg}(b) = x$, то $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{2} - b) = x$. Первое условие выполнено.

Проверка второго условия:
Мы знаем, что угол $b$ находится в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Запишем это в виде строгого двойного неравенства:
$-\frac{\pi}{2} < b < \frac{\pi}{2}$
Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства:
$\frac{\pi}{2} > -b > -\frac{\pi}{2}$
Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям:
$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} > \frac{\pi}{2} - b > \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}$
Упрощая, получаем:
$\pi > \frac{\pi}{2} - b > 0$, что эквивалентно $0 < \frac{\pi}{2} - b < \pi$.
Таким образом, угол $\frac{\pi}{2} - b$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, который является областью значений арккотангенса. Второе условие выполнено.

Поскольку оба условия определения арккотангенса для угла $\frac{\pi}{2} - b$ выполняются, мы можем заключить, что $arcctg x = \frac{\pi}{2} - b$.

Подставляя обратно $b = arctg x$, получаем: $arcctg x = \frac{\pi}{2} - arctg x$.

Перенося $arctg x$ в левую часть, приходим к доказываемому тождеству:
$arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$

Ответ: Тождество $arctg x + arcctg x = \frac{\pi}{2}$ для $x \in R$ доказано.

Вычислите:

26.35. а) $\arcsin \left(\sin \frac{2\pi}{5}\right);$

б) $\arccos \left(\sin \frac{2\pi}{5}\right);$

в) $\arcsin \left(\sin \left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right);$

г) $\arccos \left(\cos \left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right).$

а) Вычислить $ \arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) $.

По определению, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, который принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и для которого $ \sin(\alpha) = a $.

В нашем случае мы ищем угол $ \alpha $, такой что $ \alpha \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и $ \sin(\alpha) = \sin\frac{2\pi}{5} $.

Проверим, принадлежит ли угол $ \frac{2\pi}{5} $ отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $. Для этого сравним $ \frac{2\pi}{5} $ с границами отрезка:

$ -\frac{\pi}{2} = -\frac{2.5\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $.

Так как $ -\frac{2.5\pi}{5} \le \frac{2\pi}{5} \le \frac{2.5\pi}{5} $, то угол $ \frac{2\pi}{5} $ принадлежит области значений арксинуса.

Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{5} $

б) Вычислить $ \arccos\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right) $.

Для того чтобы использовать свойство $ \arccos(\cos x) = x $, необходимо преобразовать синус в косинус. Воспользуемся формулой приведения: $ \sin\alpha = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) $.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$ \sin\frac{2\pi}{5} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{5\pi - 4\pi}{10}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) $.

Теперь исходное выражение имеет вид: $ \arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right) $.

Область значений арккосинуса — это отрезок $ [0, \pi] $. Угол $ \frac{\pi}{10} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{\pi}{10} \le \pi $.

Поэтому $ \arccos\left(\cos\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\pi}{10} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{10} $

в) Вычислить $ \arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) $.

По определению, $ \arcsin(a) $ — это угол $ \alpha $, который принадлежит отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $ и для которого $ \sin(\alpha) = a $.

Проверим, принадлежит ли угол $ -\frac{2\pi}{5} $ отрезку $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.

$ -\frac{\pi}{2} = -\frac{2.5\pi}{5} $ и $ \frac{\pi}{2} = \frac{2.5\pi}{5} $.

Так как $ -\frac{2.5\pi}{5} \le -\frac{2\pi}{5} \le \frac{2.5\pi}{5} $, то угол $ -\frac{2\pi}{5} $ принадлежит области значений арксинуса.

Следовательно, $ \arcsin\left(\sin\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) = -\frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ -\frac{2\pi}{5} $

г) Вычислить $ \arccos\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right)\right) $.

Область значений функции $ \arccos(x) $ — это отрезок $ [0, \pi] $. Угол $ -\frac{2\pi}{5} $ не принадлежит этому отрезку, так как он отрицательный.

Нам нужно найти такой угол $ y \in [0, \pi] $, что $ \cos(y) = \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) $.

Воспользуемся свойством четности функции косинус: $ \cos(-x) = \cos(x) $.

Тогда $ \cos\left(-\frac{2\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) $.

Исходное выражение можно переписать как $ \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right) $.

Угол $ \frac{2\pi}{5} $ принадлежит отрезку $ [0, \pi] $, так как $ 0 \le \frac{2\pi}{5} \le \pi $.

Поэтому $ \arccos\left(\cos\frac{2\pi}{5}\right) = \frac{2\pi}{5} $.

Ответ: $ \frac{2\pi}{5} $

26.36. a) $\arcsin(-\cos(\frac{4\pi}{5}))$;

б) $\arccos(\cos(-\frac{24\pi}{5}))$;

в) $\arctan(\cot(-\frac{21\pi}{5}))$;

г) $\arccot(\tan(\frac{27\pi}{7}))$.

а) Чтобы найти значение выражения $ \arcsin(-\cos\frac{4\pi}{5}) $, сначала преобразуем аргумент арксинуса. Воспользуемся формулой приведения $ -\cos(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) $.
Применим ее к нашему случаю:
$ -\cos\frac{4\pi}{5} = \sin(\frac{4\pi}{5} - \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{8\pi - 5\pi}{10}) = \sin(\frac{3\pi}{10}) $.
Теперь исходное выражение принимает вид: $ \arcsin(\sin\frac{3\pi}{10}) $.
Область значений функции $ y = \arcsin(x) $ — это отрезок $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Значение $ \frac{3\pi}{10} $ принадлежит этому отрезку, так как $ -\frac{\pi}{2} \le \frac{3\pi}{10} \le \frac{\pi}{2} $ (или $ -0.5\pi \le 0.3\pi \le 0.5\pi $).
Следовательно, $ \arcsin(\sin\frac{3\pi}{10}) = \frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{10} $.

б) Рассмотрим выражение $ \arccos(\cos(-\frac{24\pi}{5})) $.
Функция косинус является четной, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $.
$ \cos(-\frac{24\pi}{5}) = \cos(\frac{24\pi}{5}) $.
Теперь упростим аргумент, используя периодичность косинуса (период $ 2\pi $):
$ \frac{24\pi}{5} = \frac{20\pi + 4\pi}{5} = 4\pi + \frac{4\pi}{5} $.
$ \cos(\frac{24\pi}{5}) = \cos(4\pi + \frac{4\pi}{5}) = \cos(\frac{4\pi}{5}) $.
Выражение принимает вид: $ \arccos(\cos\frac{4\pi}{5}) $.
Область значений функции $ y = \arccos(x) $ — это отрезок $ [0, \pi] $.
Значение $ \frac{4\pi}{5} $ принадлежит этому отрезку, так как $ 0 \le \frac{4\pi}{5} \le \pi $.
Следовательно, $ \arccos(\cos\frac{4\pi}{5}) = \frac{4\pi}{5} $.
Ответ: $ \frac{4\pi}{5} $.

в) Найдем значение выражения $ \arctan(\cot(-\frac{21\pi}{5})) $. В русскоязычной литературе $ \arctan $ часто обозначается как $ \text{arctg} $, а $ \cot $ как $ \text{ctg} $.
Упростим аргумент котангенса, используя его нечетность и периодичность (период $ \pi $):
$ -\frac{21\pi}{5} = -\frac{20\pi + \pi}{5} = -4\pi - \frac{\pi}{5} $.
$ \cot(-\frac{21\pi}{5}) = \cot(-4\pi - \frac{\pi}{5}) = \cot(-\frac{\pi}{5}) = -\cot(\frac{\pi}{5}) $.
Выражение принимает вид: $ \arctan(-\cot\frac{\pi}{5}) $.
Используем формулу приведения $ \cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \cot(\frac{\pi}{5}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5}) = \tan(\frac{5\pi - 2\pi}{10}) = \tan(\frac{3\pi}{10}) $.
Подставляем обратно: $ \arctan(-\tan\frac{3\pi}{10}) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ -\tan(x) = \tan(-x) $, то $ -\tan(\frac{3\pi}{10}) = \tan(-\frac{3\pi}{10}) $.
Получаем: $ \arctan(\tan(-\frac{3\pi}{10})) $.
Область значений функции $ y = \arctan(x) $ — это интервал $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $.
Значение $ -\frac{3\pi}{10} $ принадлежит этому интервалу, так как $ -\frac{\pi}{2} < -\frac{3\pi}{10} < \frac{\pi}{2} $.
Следовательно, $ \arctan(\tan(-\frac{3\pi}{10})) = -\frac{3\pi}{10} $.
Ответ: $ -\frac{3\pi}{10} $.

г) Найдем значение выражения $ \text{arcctg}(\tan\frac{27\pi}{7}) $.
Упростим аргумент тангенса, используя его периодичность (период $ \pi $):
$ \frac{27\pi}{7} = \frac{28\pi - \pi}{7} = 4\pi - \frac{\pi}{7} $.
$ \tan(\frac{27\pi}{7}) = \tan(4\pi - \frac{\pi}{7}) = \tan(-\frac{\pi}{7}) $.
Так как тангенс — нечетная функция, $ \tan(-\frac{\pi}{7}) = -\tan(\frac{\pi}{7}) $.
Выражение принимает вид: $ \text{arcctg}(-\tan\frac{\pi}{7}) $.
Используем свойство арккотангенса $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $:
$ \text{arcctg}(-\tan\frac{\pi}{7}) = \pi - \text{arcctg}(\tan\frac{\pi}{7}) $.
Теперь используем формулу приведения $ \tan(x) = \cot(\frac{\pi}{2} - x) $:
$ \tan(\frac{\pi}{7}) = \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}) = \cot(\frac{7\pi - 2\pi}{14}) = \cot(\frac{5\pi}{14}) $.
Подставляем в выражение: $ \pi - \text{arcctg}(\cot\frac{5\pi}{14}) $.
Область значений функции $ y = \text{arcctg}(x) $ — это интервал $ (0, \pi) $.
Значение $ \frac{5\pi}{14} $ принадлежит этому интервалу, так как $ 0 < \frac{5\pi}{14} < \pi $.
Следовательно, $ \text{arcctg}(\cot\frac{5\pi}{14}) = \frac{5\pi}{14} $.
Окончательный результат: $ \pi - \frac{5\pi}{14} = \frac{14\pi - 5\pi}{14} = \frac{9\pi}{14} $.
Ответ: $ \frac{9\pi}{14} $.

26.37. Постройте график функции:

а) $y = \arcsin (\sin x)$;

б) $y = \arcsin (\cos x)$.

а) $y = \arcsin(\sin x)$

1. Область определения и область значений.
Функция $\sin x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Функция $\arcsin(u)$ определена для $u \in [-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arcsin(\sin x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений функции арксинус — отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Таким образом, область значений данной функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Периодичность.
Функция $\sin x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Следовательно, и функция $y = \arcsin(\sin x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$, так как $\arcsin(\sin(x+2\pi)) = \arcsin(\sin x)$. Это позволяет нам построить график на одном периоде, например, на отрезке $[-\pi/2, 3\pi/2]$ длиной $2\pi$, а затем продолжить его на всю числовую ось.

3. Упрощение функции на различных интервалах.
По определению арксинуса, $\arcsin(\sin x) = x$ только при условии, что $x \in [-\pi/2, \pi/2]$. На этом отрезке график функции совпадает с графиком прямой $y=x$.
Рассмотрим следующий отрезок $[\pi/2, 3\pi/2]$. Для $x$, принадлежащего этому отрезку, значение $x$ не попадает в область значений арксинуса. Используем формулу приведения: $\sin x = \sin(\pi - x)$.
Если $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$, то $\pi - x \in [\pi - 3\pi/2, \pi - \pi/2]$, то есть $\pi - x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Поскольку $\pi - x$ теперь принадлежит нужному отрезку, мы можем записать: $y = \arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$.
Итак, на отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ график функции совпадает с графиком прямой $y = \pi - x$.

4. Построение графика.
Мы получили кусочно-линейную функцию.

• На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ строим график $y=x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi/2, -\pi/2)$ и $(\pi/2, \pi/2)$.
• На отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ строим график $y=\pi-x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(\pi/2, \pi/2)$ и $(3\pi/2, -\pi/2)$.

Полученный "зубец" периодически повторяется с периодом $2\pi$. График представляет собой "пилообразную" волну.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\sin x)$ представляет собой периодическую ломаную линию ("пилообразную" волну) с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\pi/2, \pi/2]$ график совпадает с прямой $y=x$, а на отрезке $[\pi/2, 3\pi/2]$ — с прямой $y=\pi-x$. Максимальное значение функции равно $\pi/2$ в точках $x = \pi/2 + 2\pi k$, а минимальное значение равно $-\pi/2$ в точках $x = 3\pi/2 + 2\pi k$ (или $x = -\pi/2 + 2\pi k$), где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \arcsin(\cos x)$

1. Область определения и область значений.
Функция $\cos x$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и ее значения принадлежат отрезку $[-1, 1]$. Следовательно, область определения функции $y = \arcsin(\cos x)$ — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений функции арксинус — отрезок $[-\pi/2, \pi/2]$. Таким образом, область значений данной функции $E(y) = [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Периодичность.
Функция $\cos x$ является периодической с основным периодом $T = 2\pi$. Следовательно, и функция $y = \arcsin(\cos x)$ является периодической с периодом $T = 2\pi$. Это позволяет нам построить график на одном периоде, например, на отрезке $[-\pi, \pi]$ длиной $2\pi$.

3. Упрощение функции.
Воспользуемся формулой приведения $\cos x = \sin(\pi/2 - x)$.
Тогда нашу функцию можно переписать в виде: $y = \arcsin(\sin(\pi/2 - x))$.
Эта функция похожа на функцию из пункта а). Обозначим $u = \pi/2 - x$. Тогда $y = \arcsin(\sin u)$.
Из решения пункта а) мы знаем, что:
- $y = u$, если $u \in [-\pi/2, \pi/2]$.
- $y = \pi - u$, если $u \in [\pi/2, 3\pi/2]$.
Теперь вернемся к переменной $x$.
- Случай 1: $u = \pi/2 - x \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Решим неравенство: $-\pi/2 \le \pi/2 - x \le \pi/2$.
$-\pi \le -x \le 0$, что эквивалентно $0 \le x \le \pi$.
На этом отрезке $y = u = \pi/2 - x$.
- Случай 2: Рассмотрим отрезок $[-\pi, 0]$. Если $x \in [-\pi, 0]$, то $\pi/2 - x \in [\pi/2, 3\pi/2]$.
В этом случае $y = \pi - u = \pi - (\pi/2 - x) = \pi/2 + x$.

4. Построение графика.
Мы получили кусочно-линейную функцию.

• На отрезке $[-\pi, 0]$ строим график $y = x + \pi/2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-\pi, -\pi/2)$ и $(0, \pi/2)$.
• На отрезке $[0, \pi]$ строим график $y = -x + \pi/2$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \pi/2)$ и $(\pi, -\pi/2)$.

Полученный "зубец" (перевернутая буква V) периодически повторяется с периодом $2\pi$. График представляет собой "пилообразную" волну, сдвинутую относительно графика из пункта а). График $y = \arcsin(\cos x)$ получается из графика $y = \arcsin(\sin x)$ сдвигом влево на $\pi/2$.

Ответ: График функции $y = \arcsin(\cos x)$ представляет собой периодическую ломаную линию ("пилообразную" волну) с периодом $2\pi$. На отрезке $[-\pi, 0]$ график совпадает с прямой $y=x+\pi/2$, а на отрезке $[0, \pi]$ — с прямой $y=-x+\pi/2$. Максимальное значение функции равно $\pi/2$ в точках $x = 2\pi k$, а минимальное значение равно $-\pi/2$ в точках $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

27.1. a) $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t;$

б) $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t};$

В) $\cos^2 t - \cos 2t;$

Г) $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t.$

а) Упростим выражение $\frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t$.

Для начала воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$.

Подставим эту формулу в исходное выражение:

$\frac{2 \sin t \cos t}{\cos t} - \sin t$

Сократим дробь на $\cos t$, при условии, что $\cos t \neq 0$:

$2 \sin t - \sin t$

Выполним вычитание и получим окончательный результат:

$\sin t$

Ответ: $\sin t$

б) Упростим выражение $\frac{\sin 6t}{\cos^2 3t}$.

Применим формулу синуса двойного угла, представив $6t$ как $2 \cdot 3t$:

$\sin 6t = \sin(2 \cdot 3t) = 2 \sin 3t \cos 3t$

Подставим это в наше выражение:

$\frac{2 \sin 3t \cos 3t}{\cos^2 3t}$

Сократим дробь на $\cos 3t$, при условии, что $\cos 3t \neq 0$:

$\frac{2 \sin 3t}{\cos 3t}$

Используя определение тангенса $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, получим:

$2 \tan 3t$

Ответ: $2 \tan 3t$

в) Упростим выражение $\cos^2 t - \cos 2t$.

Воспользуемся одной из формул косинуса двойного угла. Наиболее удобной здесь является $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Подставим ее в выражение:

$\cos^2 t - (\cos^2 t - \sin^2 t)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t = \sin^2 t$

Ответ: $\sin^2 t$

г) Упростим выражение $\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t$.

Для преобразования числителя дроби используем формулу косинуса двойного угла в виде разности квадратов: $\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)$

Подставим полученное выражение в дробь:

$\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t$

Сократим дробь на $(\cos t - \sin t)$, при условии, что $\cos t - \sin t \neq 0$:

$(\cos t + \sin t) - \sin t$

Упростим выражение, раскрыв скобки и приведя подобные члены:

$\cos t + \sin t - \sin t = \cos t$

Ответ: $\cos t$

27.2. a) $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$;

б) $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$;

в) $\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}$;

г) $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$.

а)Чтобы упростить выражение $\frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ}$, воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.
В числителе у нас $\sin 40^\circ$. Представим $40^\circ$ как $2 \cdot 20^\circ$.
Тогда $\sin 40^\circ = \sin(2 \cdot 20^\circ) = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$.
Подставим это в исходное выражение:$$ \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} $$Сократим дробь на $\sin 20^\circ$ (поскольку $\sin 20^\circ \ne 0$):$$ 2\cos 20^\circ $$
Ответ: $2\cos 20^\circ$

б)Чтобы упростить выражение $\frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ}$, применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.
В числителе у нас $\cos 80^\circ$. Представим $80^\circ$ как $2 \cdot 40^\circ$.
Тогда $\cos 80^\circ = \cos(2 \cdot 40^\circ) = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ$.
Теперь воспользуемся формулой разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя:$$ \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ) $$Подставим полученное выражение в исходную дробь:$$ \frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} $$Сократим дробь на общий множитель $(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)$:$$ \cos 40^\circ - \sin 40^\circ $$
Ответ: $\cos 40^\circ - \sin 40^\circ$

в)Чтобы упростить выражение $\frac{\sin 100^\circ}{2 \cos 50^\circ}$, воспользуемся формулами приведения и формулой двойного угла.
Сначала применим формулу приведения для синуса: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.
$\sin 100^\circ = \sin(180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ$.
Теперь применим формулу приведения для косинуса: $\cos\alpha = \sin(90^\circ - \alpha)$.
$\cos 50^\circ = \sin(90^\circ - 50^\circ) = \sin 40^\circ$.
Подставим эти значения в исходное выражение:$$ \frac{\sin 80^\circ}{2 \sin 40^\circ} $$Теперь используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для числителя:$$ \sin 80^\circ = \sin(2 \cdot 40^\circ) = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ $$Подставим это в нашу дробь:$$ \frac{2\sin 40^\circ \cos 40^\circ}{2 \sin 40^\circ} $$Сократим дробь на $2\sin 40^\circ$:$$ \cos 40^\circ $$
Ответ: $\cos 40^\circ$

г)Чтобы упростить выражение $\frac{\cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ}$, воспользуемся формулой косинуса двойного угла в виде $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.
В числителе у нас есть $\cos 36^\circ$. Представим $36^\circ$ как $2 \cdot 18^\circ$.
Тогда $\cos 36^\circ = \cos(2 \cdot 18^\circ) = 1 - 2\sin^2 18^\circ$.
Подставим это выражение в числитель исходной дроби:$$ \frac{(1 - 2\sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Упростим числитель:$$ \frac{1 - \sin^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$.Применим это к нашему числителю: $1 - \sin^2 18^\circ = \cos^2 18^\circ$.
Получаем дробь:$$ \frac{\cos^2 18^\circ}{\cos 18^\circ} $$Сократим дробь на $\cos 18^\circ$:$$ \cos 18^\circ $$
Ответ: $\cos 18^\circ$