Страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.35. a) Известно, что $sin 2\alpha = \frac{1}{3}$. Вычислите $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha$.

б) Известно, что $sin^4 \alpha + cos^4 \alpha = \frac{49}{50}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Вычислите $sin 2\alpha$.

а)

Для решения этой задачи воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла.

Основное тригонометрическое тождество: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части тождества в квадрат:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 = 1^2$

$sin^4\alpha + 2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha + cos^4\alpha = 1$

Отсюда выразим искомую сумму:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - 2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cdot cos\alpha$.

Возведем обе части этой формулы в квадрат:

$sin^2(2\alpha) = (2sin\alpha \cdot cos\alpha)^2 = 4sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$

Из этого выражения можно найти $2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha$:

$2sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha = \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

Подставим это в наше выражение для суммы четвертых степеней:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

По условию задачи известно, что $sin(2\alpha) = \frac{1}{3}$. Подставим это значение в полученную формулу:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} = 1 - \frac{1}{18} = \frac{18}{18} - \frac{1}{18} = \frac{17}{18}$

Ответ: $\frac{17}{18}$

б)

Воспользуемся формулой, выведенной в пункте а):

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

По условию известно, что $sin^4\alpha + cos^4\alpha = \frac{49}{50}$. Подставим это значение в формулу:

$\frac{49}{50} = 1 - \frac{1}{2}sin^2(2\alpha)$

Теперь решим это уравнение относительно $sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2}sin^2(2\alpha) = 1 - \frac{49}{50}$

$\frac{1}{2}sin^2(2\alpha) = \frac{50}{50} - \frac{49}{50} = \frac{1}{50}$

$sin^2(2\alpha) = 2 \cdot \frac{1}{50} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25}$

Извлекая квадратный корень, получаем два возможных значения для $sin(2\alpha)$:

$sin(2\alpha) = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ или $sin(2\alpha) = -\sqrt{\frac{1}{25}} = -\frac{1}{5}$

Чтобы выбрать правильный знак, используем второе условие задачи: $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это означает, что угол $\alpha$ находится во второй четверти.

Найдем, в какой четверти находится угол $2\alpha$. Для этого умножим неравенство на 2:

$2 \cdot \frac{\pi}{2} < 2\alpha < 2 \cdot \pi$

$\pi < 2\alpha < 2\pi$

Этот диапазон соответствует третьей и четвертой координатным четвертям. Синус в этих четвертях принимает отрицательные значения.

Следовательно, мы должны выбрать отрицательное значение:

$sin(2\alpha) = -\frac{1}{5}$

Ответ: $-\frac{1}{5}$

27.36. Известно, что $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Вычислите:

а) $\sin^4 x + \cos^4 x$;

б) $\sin^8 x - \cos^8 x$.

а) $\sin^4 x + \cos^4 x$

Для вычисления значения данного выражения мы можем использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Возведем его в квадрат:

$(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2$

$\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1$

Отсюда можно выразить искомую сумму:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$

Теперь преобразуем выражение $2\sin^2 x \cos^2 x$, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}(4\sin^2 x \cos^2 x) = \frac{1}{2}(2\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{2}\sin^2 2x$

Подставив это обратно, получаем:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x$

По условию задачи $\cos 2x = \frac{5}{13}$. Найдем $\sin^2 2x$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, где $\alpha = 2x$:

$\sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$

Теперь мы можем вычислить итоговое значение:

$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{144}{169} = 1 - \frac{72}{169} = \frac{169 - 72}{169} = \frac{97}{169}$

Ответ: $\frac{97}{169}$

б) $\sin^8 x - \cos^8 x$

Разложим данное выражение на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\sin^8 x - \cos^8 x = (\sin^4 x)^2 - (\cos^4 x)^2 = (\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Значение второго множителя $(\sin^4 x + \cos^4 x)$ было найдено в пункте а) и равно $\frac{97}{169}$.

Теперь преобразуем первый множитель $(\sin^4 x - \cos^4 x)$, снова применив формулу разности квадратов:

$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x)^2 - (\cos^2 x)^2 = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Мы знаем, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Также мы знаем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Следовательно, $\sin^2 x - \cos^2 x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = -\cos 2x$.

Тогда первый множитель равен:

$\sin^4 x - \cos^4 x = (-\cos 2x) \cdot 1 = -\cos 2x$

Теперь объединим все части:

$\sin^8 x - \cos^8 x = (-\cos 2x)(\sin^4 x + \cos^4 x)$

Подставим известные значения: $\cos 2x = \frac{5}{13}$ и $\sin^4 x + \cos^4 x = \frac{97}{169}$:

$\sin^8 x - \cos^8 x = \left(-\frac{5}{13}\right) \cdot \left(\frac{97}{169}\right) = -\frac{5 \cdot 97}{13 \cdot 169} = -\frac{485}{2197}$

Ответ: $-\frac{485}{2197}$

27.37. Сравните числа a и b, если:

а) $a = \sin \frac{\pi}{12}, b = \frac{1}{4};$

б) $a = \operatorname{tg} \frac{\pi}{8}, b = \frac{1}{2}.$

а) Чтобы сравнить числа $a = \sin\frac{\pi}{12}$ и $b = \frac{1}{4}$, найдем точное значение $a$.
Представим угол $\frac{\pi}{12}$ (что соответствует $15^\circ$) как разность известных углов, например, $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}$ ($45^\circ - 30^\circ$).
Воспользуемся формулой синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$.
$a = \sin\frac{\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}$.
Подставляем табличные значения: $\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.
Теперь сравним $a = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ и $b = \frac{1}{4}$. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями сводится к сравнению их числителей: $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ и $1$.
Докажем, что $\sqrt{6} - \sqrt{2} > 1$.
Перенесем $\sqrt{2}$ вправо: $\sqrt{6} > 1 + \sqrt{2}$.
Возведем в квадрат обе части неравенства (они обе положительны):
$(\sqrt{6})^2 > (1 + \sqrt{2})^2$
$6 > 1 + 2\sqrt{2} + 2$
$6 > 3 + 2\sqrt{2}$
$3 > 2\sqrt{2}$
Снова возведем в квадрат обе положительные части:
$3^2 > (2\sqrt{2})^2$
$9 > 4 \cdot 2$
$9 > 8$
Так как неравенство $9 > 8$ истинно, а все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\sqrt{6} - \sqrt{2} > 1$ верно. Таким образом, $a > b$.
Ответ: $a > b$.

б) Чтобы сравнить числа $a = \operatorname{tg}\frac{\pi}{8}$ и $b = \frac{1}{2}$, найдем точное значение $a$.
Угол $\frac{\pi}{8}$ является половиной угла $\frac{\pi}{4}$. Воспользуемся одной из формул тангенса половинного угла: $\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$.
Примем $\alpha = \frac{\pi}{4}$, тогда $\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{8}$.
$a = \operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \frac{1 - \cos\frac{\pi}{4}}{\sin\frac{\pi}{4}}$.
Подставим табличные значения: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$a = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$a = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$.
Теперь сравним $a = \sqrt{2} - 1$ и $b = \frac{1}{2}$.
Предположим, что $\sqrt{2} - 1 < \frac{1}{2}$.
Перенесем $1$ вправо: $\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{2}$, то есть $\sqrt{2} < \frac{3}{2}$.
Возведем в квадрат обе части неравенства (они обе положительны):
$(\sqrt{2})^2 < (\frac{3}{2})^2$
$2 < \frac{9}{4}$
$2 < 2.25$
Так как неравенство $2 < 2.25$ истинно, а все преобразования были равносильными, то и исходное предположение $\sqrt{2} - 1 < \frac{1}{2}$ верно. Таким образом, $a < b$.
Ответ: $a < b$.

27.38. Выразите:

а) $ \sin 3x $ через $ \sin x $;

б) $ \cos 3x $ через $ \cos x $.

а) sin 3x через sin x;

Для того чтобы выразить $\sin 3x$ через $\sin x$, воспользуемся формулой синуса суммы и формулами двойного угла. Сначала представим $3x$ в виде суммы $2x+x$.

$\sin 3x = \sin(2x + x)$

Применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin(2x + x) = \sin 2x \cos x + \cos 2x \sin x$

Теперь используем формулы двойного угла. Чтобы в конечном итоге получить выражение, зависящее только от $\sin x$, применим следующие формулы: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\sin 3x = (2\sin x \cos x)\cos x + (1 - 2\sin^2 x)\sin x$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\sin 3x = 2\sin x \cos^2 x + \sin x - 2\sin^3 x$

Чтобы исключить $\cos^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$\sin 3x = 2\sin x (1 - \sin^2 x) + \sin x - 2\sin^3 x$

Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\sin 3x = 2\sin x - 2\sin^3 x + \sin x - 2\sin^3 x$

$\sin 3x = (2\sin x + \sin x) + (-2\sin^3 x - 2\sin^3 x)$

$\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$

Ответ: $3\sin x - 4\sin^3 x$

б) cos 3x через cos x.

Для того чтобы выразить $\cos 3x$ через $\cos x$, поступим аналогично. Представим $3x$ в виде суммы $2x+x$.

$\cos 3x = \cos(2x + x)$

Применим формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$:

$\cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

Теперь используем формулы двойного угла. Чтобы в конечном итоге получить выражение, зависящее только от $\cos x$, применим следующие формулы: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эти выражения в полученное равенство:

$\cos 3x = (2\cos^2 x - 1)\cos x - (2\sin x \cos x)\sin x$

Упростим выражение, раскрыв скобки:

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x \sin^2 x$

Чтобы исключить $\sin^2 x$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x (1 - \cos^2 x)$

Снова раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$\cos 3x = 2\cos^3 x - \cos x - 2\cos x + 2\cos^3 x$

$\cos 3x = (2\cos^3 x + 2\cos^3 x) + (-\cos x - 2\cos x)$

$\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$

Ответ: $4\cos^3 x - 3\cos x$

27.39. Опираясь на результаты 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства:

a) $\sin 3x = 3 \sin x$;

б) $\cos 3x + 3 \cos x = 0$.

а) Для нахождения необходимого и достаточного условия выполнения равенства $ \sin 3x = 3 \sin x $, воспользуемся формулой синуса тройного угла, которая, вероятно, была получена в задании 27.38: $ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x $.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$ 3 \sin x - 4 \sin^3 x = 3 \sin x $

Вычтем $ 3 \sin x $ из обеих частей уравнения:

$ -4 \sin^3 x = 0 $

Разделим обе части на -4:

$ \sin^3 x = 0 $

Это уравнение равносильно уравнению:

$ \sin x = 0 $

Решениями этого уравнения являются значения $ x $, при которых синус равен нулю, то есть $ x = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Следовательно, необходимым и достаточным условием для выполнения равенства $ \sin 3x = 3 \sin x $ является то, что $ x $ должно быть целым кратным $ \pi $.

Ответ: $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) Для нахождения необходимого и достаточного условия выполнения равенства $ \cos 3x + 3 \cos x = 0 $, воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x $.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) + 3 \cos x = 0 $

Упростим левую часть уравнения:

$ 4 \cos^3 x = 0 $

Разделим обе части на 4:

$ \cos^3 x = 0 $

Это уравнение равносильно уравнению:

$ \cos x = 0 $

Решениями этого уравнения являются значения $ x $, при которых косинус равен нулю, то есть $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Следовательно, необходимым и достаточным условием для выполнения равенства $ \cos 3x + 3 \cos x = 0 $ является то, что $ x $ должен иметь вид $ \frac{\pi}{2} + k\pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

27.40. а) Зная, что $f(x) = \sin x, f(a) = 0,1$, вычислите $f(3a)$;

б) Зная, что $f(x) = \sin x, f(a) = 0,25$, вычислите $f(4a)$;

в) Зная, что $f(x) = \cos x, f(a) = -0,1$, вычислите $f(3a)$;

г) Зная, что $f(x) = \cos x, f(a) = \frac{2}{3}$, вычислите $f(4a)$.

а)

По условию, $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,1$. Это означает, что $\sin a = 0,1$.
Нам нужно вычислить $f(3a)$, что соответствует $\sin(3a)$.
Воспользуемся формулой синуса тройного угла: $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$.
Подставим известное значение $\sin a = 0,1$ в формулу:
$f(3a) = \sin(3a) = 3\sin a - 4\sin^3 a = 3(0,1) - 4(0,1)^3 = 0,3 - 4(0,001) = 0,3 - 0,004 = 0,296$.
Ответ: $0,296$.

б)

По условию, $f(x) = \sin x$ и $f(a) = 0,25$. Это означает, что $\sin a = 0,25 = \frac{1}{4}$.
Нам нужно вычислить $f(4a)$, что соответствует $\sin(4a)$.
Воспользуемся формулой синуса четверного угла, которую можно вывести из формул двойного угла: $\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a)$.
Сначала найдем $\cos(2a)$, используя формулу косинуса двойного угла, выраженную через синус:
$\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a = 1 - 2(\frac{1}{4})^2 = 1 - 2(\frac{1}{16}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
Теперь найдем $\sin(2a)$. Формула синуса двойного угла: $\sin(2a) = 2\sin a \cos a$.
Для нахождения $\cos a$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$.
$\cos^2 a = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Отсюда $\cos a = \pm\sqrt{\frac{15}{16}} = \pm\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Поскольку значение $\sin a = 0,25 > 0$, угол $a$ может находиться в I или II координатной четверти. В I четверти $\cos a > 0$, а во II четверти $\cos a < 0$. Так как нет дополнительной информации, мы должны рассмотреть оба варианта.
Следовательно, $\sin(2a) = 2\sin a \cos a = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot (\pm\frac{\sqrt{15}}{4}) = \pm\frac{\sqrt{15}}{8}$.
Теперь мы можем вычислить $\sin(4a)$:
$f(4a) = \sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a) = 2 \cdot (\pm\frac{\sqrt{15}}{8}) \cdot \frac{7}{8} = \pm\frac{14\sqrt{15}}{64} = \pm\frac{7\sqrt{15}}{32}$.
Таким образом, задача имеет два возможных решения.
Ответ: $\pm\frac{7\sqrt{15}}{32}$.

в)

По условию, $f(x) = \cos x$ и $f(a) = -0,1$. Это означает, что $\cos a = -0,1$.
Нам нужно вычислить $f(3a)$, что соответствует $\cos(3a)$.
Воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.
Подставим известное значение $\cos a = -0,1$ в формулу:
$f(3a) = \cos(3a) = 4\cos^3 a - 3\cos a = 4(-0,1)^3 - 3(-0,1) = 4(-0,001) + 0,3 = -0,004 + 0,3 = 0,296$.
Ответ: $0,296$.

г)

По условию, $f(x) = \cos x$ и $f(a) = \frac{2}{3}$. Это означает, что $\cos a = \frac{2}{3}$.
Нам нужно вычислить $f(4a)$, что соответствует $\cos(4a)$.
Воспользуемся формулой косинуса двойного угла дважды. Сначала выразим $\cos(4a)$ через $\cos(2a)$:
$\cos(4a) = 2\cos^2(2a) - 1$.
Теперь найдем $\cos(2a)$, используя известное значение $\cos a$:
$\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1 = 2(\frac{2}{3})^2 - 1 = 2(\frac{4}{9}) - 1 = \frac{8}{9} - 1 = -\frac{1}{9}$.
Наконец, подставим значение $\cos(2a)$ в формулу для $\cos(4a)$:
$f(4a) = \cos(4a) = 2\cos^2(2a) - 1 = 2(-\frac{1}{9})^2 - 1 = 2(\frac{1}{81}) - 1 = \frac{2}{81} - \frac{81}{81} = -\frac{79}{81}$.
Ответ: $-\frac{79}{81}$.

27.41. a) Зная, что $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$ и $1 < t < 3$, вычислите $\mathrm{tg} t$;

б) Зная, что $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$ и $4 < t < 6$, вычислите $\mathrm{ctg} t$.

а)

Дано уравнение $15 \cos 2t + 8 \sin t = 9$ и условие $1 < t < 3$.

Чтобы решить уравнение, приведем его к одной тригонометрической функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2t = 1 - 2 \sin^2 t$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$15(1 - 2 \sin^2 t) + 8 \sin t = 9$

$15 - 30 \sin^2 t + 8 \sin t - 9 = 0$

$-30 \sin^2 t + 8 \sin t + 6 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$ и разделим на $2$, чтобы упростить его:

$15 \sin^2 t - 4 \sin t - 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin t$. Сделаем замену $x = \sin t$:

$15x^2 - 4x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-3) = 16 + 180 = 196 = 14^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 14}{2 \cdot 15} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 14}{2 \cdot 15} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, мы получили два возможных значения для синуса: $\sin t = \frac{3}{5}$ или $\sin t = -\frac{1}{3}$.

Теперь воспользуемся условием $1 < t < 3$. Так как $\pi \approx 3.14159$, интервал $(1, 3)$ полностью находится внутри интервала $(0, \pi)$, то есть в первой и второй координатных четвертях. В этих четвертях значение синуса всегда положительно ($\sin t > 0$).

Поэтому решение $\sin t = -\frac{1}{3}$ не подходит. Остается единственное верное решение: $\sin t = \frac{3}{5}$.

Для того чтобы найти $\mathrm{tg} t$, нам нужно вычислить $\cos t$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos t = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$

Чтобы определить знак косинуса, уточним, в какой четверти находится угол $t$. Так как $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, а $t$ находится в интервале $(1, 3)$, нам нужно определить, $t < \frac{\pi}{2}$ или $t > \frac{\pi}{2}$. Уравнению $\sin t = 3/5$ на интервале $(0, \pi)$ соответствуют два угла: $t_1 = \arcsin(3/5) \approx 0.64$ и $t_2 = \pi - \arcsin(3/5) \approx 3.14 - 0.64 = 2.5$. Условию $1 < t < 3$ удовлетворяет только $t_2 \approx 2.5$, который находится во второй четверти. Косинус во второй четверти отрицателен.

Значит, $\cos t = -\frac{4}{5}$.

Наконец, вычисляем тангенс:

$\mathrm{tg} t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б)

Дано уравнение $6 \cos 2t + 5 \cos t + 3 = 0$ и условие $4 < t < 6$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2t = 2 \cos^2 t - 1$, чтобы привести уравнение к квадратному относительно $\cos t$.

$6(2 \cos^2 t - 1) + 5 \cos t + 3 = 0$

$12 \cos^2 t - 6 + 5 \cos t + 3 = 0$

$12 \cos^2 t + 5 \cos t - 3 = 0$

Сделаем замену $y = \cos t$:

$12y^2 + 5y - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 13}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 13}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$

Таким образом, $\cos t = \frac{1}{3}$ или $\cos t = -\frac{3}{4}$.

Рассмотрим условие $4 < t < 6$. Так как $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$ и $2\pi \approx 6.28$, интервал $(4, 6)$ включает углы из третьей четверти (где $\cos t < 0$) и четвертой четверти (где $\cos t > 0$). Проверим оба варианта.

1. Если $\cos t = -\frac{3}{4}$. Общее решение $t = \pm \arccos(-\frac{3}{4}) + 2\pi n$. Учитывая, что $\arccos(-\frac{3}{4}) \approx 2.42$, получаем $t \approx \pm 2.42 + 6.28n$. Ближайшее к интервалу $(4, 6)$ значение $t \approx -2.42 + 6.28 = 3.86$, которое не входит в заданный интервал.

2. Если $\cos t = \frac{1}{3}$. Общее решение $t = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi n$. Учитывая, что $\arccos(\frac{1}{3}) \approx 1.23$, получаем $t \approx \pm 1.23 + 6.28n$. При $n=1$ и знаке "минус" имеем $t \approx -1.23 + 6.28 = 5.05$. Это значение удовлетворяет условию $4 < 5.05 < 6$.

Следовательно, верным является значение $\cos t = \frac{1}{3}$, а угол $t$ находится в четвертой четверти.

Теперь найдем $\sin t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$\sin^2 t = 1 - \cos^2 t = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin t = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Поскольку угол $t$ находится в четвертой четверти, синус отрицателен: $\sin t = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Вычислим котангенс:

$\mathrm{ctg} t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{1/3}{-2\sqrt{2}/3} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\mathrm{ctg} t = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{4}$.

27.42. а) Докажите, что если $sin^2 x = sin y cos y$, то $cos 2x = 2 cos^2 \left(\frac{\pi}{4} + y\right);$

б) докажите, что если $cos^2 x = sin y cos y$, то $cos(\pi + 2x) = 2 sin^2 \left(\frac{\pi}{4} - y\right).$

а)

Требуется доказать, что если $\sin^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos 2x = 2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + y)$.

Начнем с преобразования левой части равенства, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ и данное условие $\sin^2 x = \sin y \cos y$.

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 1 - 2\sin y \cos y$

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha $, получаем:

$\cos 2x = 1 - \sin 2y$

Теперь преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$.

$2 \cos^2(\frac{\pi}{4} + y) = 1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} + y)) = 1 + \cos(\frac{\pi}{2} + 2y)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$:

$1 + \cos(\frac{\pi}{2} + 2y) = 1 - \sin 2y$

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $1 - \sin 2y$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Требуется доказать, что если $\cos^2 x = \sin y \cos y$, то $\cos(\pi + 2x) = 2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - y)$.

Начнем с преобразования левой части. Используем формулу приведения $\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$.

$\cos(\pi + 2x) = -\cos 2x$

Теперь применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$ и подставим данное условие $\cos^2 x = \sin y \cos y$.

$-\cos 2x = -(2\cos^2 x - 1) = 1 - 2\cos^2 x = 1 - 2\sin y \cos y$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$\cos(\pi + 2x) = 1 - \sin 2y$

Теперь преобразуем правую часть равенства, используя формулу понижения степени $2\sin^2\alpha = 1 - \cos 2\alpha$.

$2 \sin^2(\frac{\pi}{4} - y) = 1 - \cos(2(\frac{\pi}{4} - y)) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2y)$

Применим формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$:

$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - 2y) = 1 - \sin 2y$

Мы получили, что и левая, и правая части равенства равны одному и тому же выражению $1 - \sin 2y$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Что и требовалось доказать.