Номер 27.39, страница 170, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.39. Опираясь на результаты 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства:

a) $\sin 3x = 3 \sin x$;

б) $\cos 3x + 3 \cos x = 0$.

а) Для нахождения необходимого и достаточного условия выполнения равенства $ \sin 3x = 3 \sin x $, воспользуемся формулой синуса тройного угла, которая, вероятно, была получена в задании 27.38: $ \sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x $.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$ 3 \sin x - 4 \sin^3 x = 3 \sin x $

Вычтем $ 3 \sin x $ из обеих частей уравнения:

$ -4 \sin^3 x = 0 $

Разделим обе части на -4:

$ \sin^3 x = 0 $

Это уравнение равносильно уравнению:

$ \sin x = 0 $

Решениями этого уравнения являются значения $ x $, при которых синус равен нулю, то есть $ x = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Следовательно, необходимым и достаточным условием для выполнения равенства $ \sin 3x = 3 \sin x $ является то, что $ x $ должно быть целым кратным $ \pi $.

Ответ: $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

б) Для нахождения необходимого и достаточного условия выполнения равенства $ \cos 3x + 3 \cos x = 0 $, воспользуемся формулой косинуса тройного угла: $ \cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x $.

Подставим это выражение в исходное равенство:

$ (4 \cos^3 x - 3 \cos x) + 3 \cos x = 0 $

Упростим левую часть уравнения:

$ 4 \cos^3 x = 0 $

Разделим обе части на 4:

$ \cos^3 x = 0 $

Это уравнение равносильно уравнению:

$ \cos x = 0 $

Решениями этого уравнения являются значения $ x $, при которых косинус равен нулю, то есть $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Следовательно, необходимым и достаточным условием для выполнения равенства $ \cos 3x + 3 \cos x = 0 $ является то, что $ x $ должен иметь вид $ \frac{\pi}{2} + k\pi $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.