Номер 27.43, страница 171, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.43. a) Известно, что $tg x = \frac{1}{7}$, $sin y = \frac{\sqrt{10}}{10}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Докажите, что $x + 2y = \frac{\pi}{4}$.

б) Известно, что $sin x = \frac{7}{25}$, $cos y = \frac{7}{25}$, $cos z = \frac{3}{5}$, $0 < x < \frac{\pi}{2}$,

$0 < y < \frac{\pi}{2}$, $0 < z < \frac{\pi}{2}$. Докажите, что $x + \frac{y}{2} = z$.

а)

Для доказательства равенства $x + 2y = \frac{\pi}{4}$ найдем значение тангенса левой части и сравним его с тангенсом правой части. Тангенс правой части равен $tg(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Сначала найдем $tg(y)$, а затем $tg(2y)$. Нам известно, что $sin(y) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ и $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2(y) + cos^2(y) = 1$ для нахождения $cos(y)$:

$cos^2(y) = 1 - sin^2(y) = 1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)^2 = 1 - \frac{10}{100} = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

Так как $y$ находится в первой четверти ($0 < y < \frac{\pi}{2}$), $cos(y)$ положителен. Следовательно, $cos(y) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Теперь можем найти $tg(y)$:

$tg(y) = \frac{sin(y)}{cos(y)} = \frac{\sqrt{10}/10}{3\sqrt{10}/10} = \frac{1}{3}$.

Используем формулу тангенса двойного угла $tg(2y) = \frac{2tg(y)}{1 - tg^2(y)}$:

$tg(2y) = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.

Теперь, используя формулу тангенса суммы $tg(a+b) = \frac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a)tg(b)}$, найдем $tg(x+2y)$:

$tg(x+2y) = \frac{tg(x) + tg(2y)}{1 - tg(x)tg(2y)} = \frac{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{7} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{4+21}{28}}{1 - \frac{3}{28}} = \frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}} = 1$.

Мы получили, что $tg(x+2y) = 1$. Это означает, что $x+2y = \frac{\pi}{4} + n\pi$, где $n$ — целое число.

Определим, в каком диапазоне находится угол $x+2y$.

По условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$ и $0 < y < \frac{\pi}{2}$.

Так как $tg(x) = \frac{1}{7} < 1 = tg(\frac{\pi}{4})$ и $x$ в первой четверти, то $0 < x < \frac{\pi}{4}$.

Так как $tg(y) = \frac{1}{3} < 1 = tg(\frac{\pi}{4})$ и $y$ в первой четверти, то $0 < y < \frac{\pi}{4}$.

Тогда для $2y$ имеем: $0 < 2y < 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Складывая неравенства для $x$ и $2y$, получаем:

$0 + 0 < x + 2y < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 < x+2y < \frac{3\pi}{4}$.

Единственное значение вида $\frac{\pi}{4} + n\pi$, которое попадает в интервал $(0, \frac{3\pi}{4})$, соответствует $n=0$.

Таким образом, $x+2y = \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Для доказательства равенства $x + \frac{y}{2} = z$ найдем значения косинусов левой и правой частей и сравним их. Нам известно значение $cos(z) = \frac{3}{5}$.

Вычислим $cos(x + \frac{y}{2})$ по формуле косинуса суммы: $cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$.

$cos(x + \frac{y}{2}) = cos(x)cos(\frac{y}{2}) - sin(x)sin(\frac{y}{2})$.

Нам даны $sin(x) = \frac{7}{25}$ и $cos(y) = \frac{7}{25}$. Все углы $x, y, z$ находятся в первой четверти ($0 < x, y, z < \frac{\pi}{2}$).

Найдем $cos(x)$:

$cos^2(x) = 1 - sin^2(x) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625-49}{625} = \frac{576}{625}$.

Так как $x$ в первой четверти, $cos(x)$ положителен: $cos(x) = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Теперь найдем $cos(\frac{y}{2})$ и $sin(\frac{y}{2})$ с помощью формул половинного угла. Так как $0 < y < \frac{\pi}{2}$, то $0 < \frac{y}{2} < \frac{\pi}{4}$, значит $cos(\frac{y}{2})$ и $sin(\frac{y}{2})$ положительны.

$cos(\frac{y}{2}) = \sqrt{\frac{1+cos(y)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$.

$sin(\frac{y}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(y)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.

Подставляем найденные значения в формулу для $cos(x + \frac{y}{2})$:

$cos(x + \frac{y}{2}) = \frac{24}{25} \cdot \frac{4}{5} - \frac{7}{25} \cdot \frac{3}{5} = \frac{96}{125} - \frac{21}{125} = \frac{75}{125} = \frac{3}{5}$.

Мы получили, что $cos(x + \frac{y}{2}) = \frac{3}{5}$. Также по условию $cos(z) = \frac{3}{5}$.

Таким образом, $cos(x + \frac{y}{2}) = cos(z)$.

Определим, в каких интервалах находятся углы $x + \frac{y}{2}$ и $z$.

По условию $0 < x < \frac{\pi}{2}$, $0 < y < \frac{\pi}{2}$, $0 < z < \frac{\pi}{2}$.

Из $0 < y < \frac{\pi}{2}$ следует, что $0 < \frac{y}{2} < \frac{\pi}{4}$.

Тогда для суммы $x + \frac{y}{2}$ имеем: $0 + 0 < x + \frac{y}{2} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \Rightarrow 0 < x + \frac{y}{2} < \frac{3\pi}{4}$.

Итак, у нас есть два угла, $x + \frac{y}{2}$ и $z$, оба находятся в интервале $(0, \pi)$ (точнее, $x + \frac{y}{2} \in (0, \frac{3\pi}{4})$ и $z \in (0, \frac{\pi}{2})$), и их косинусы равны. На интервале $(0, \pi)$ функция косинуса является взаимно однозначной (инъективной). Следовательно, из равенства косинусов следует равенство самих углов.

$x + \frac{y}{2} = z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.