Номер 27.50, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения:

a) $\cos x = \frac{\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ}{\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ};$

б) $\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}.$

a) Рассмотрим уравнение $\cos x = \frac{\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ}{\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ}$.

Для решения необходимо упростить правую часть уравнения, используя тригонометрические формулы двойного угла.

Упростим числитель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, из которой следует, что $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\sin 22.5^\circ \cos 22.5^\circ = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 22.5^\circ) = \frac{1}{2}\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$\cos^2 67.5^\circ - \sin^2 67.5^\circ = \cos(2 \cdot 67.5^\circ) = \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то знаменатель равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в уравнение:
$\cos x = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\cos x = -\frac{1}{2}$.
Общее решение этого уравнения в градусах: $x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 360^\circ n$, где $n$ — целое число ($n \in \mathbb{Z}$).
$x = \pm 120^\circ + 360^\circ n$.

Это дает две серии корней:
1) $x_1 = 120^\circ + 360^\circ n$
2) $x_2 = -120^\circ + 360^\circ n$

Найдем наибольший отрицательный корень. Для этого подставим различные целые значения $n$.
В первой серии: при $n = 0$, $x = 120^\circ$ (положительный); при $n = -1$, $x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$.
Во второй серии: при $n = 0$, $x = -120^\circ$ (отрицательный); при $n = 1$, $x = -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ$ (положительный).
Среди всех отрицательных корней (например, $-120^\circ, -240^\circ, -480^\circ, \dots$) наибольшим является тот, что ближе к нулю. Это $-120^\circ$.

Ответ: $-120^\circ$.

б) Рассмотрим уравнение $\sin x = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ}$.

Сначала упростим правую часть уравнения.

Упростим числитель. Он похож на формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ = -(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ) = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$.
Так как $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то числитель равен $-(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Упростим знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$.
$4 \sin 15^\circ \cos 15^\circ = 2 \cdot (2 \sin 15^\circ \cos 15^\circ) = 2 \sin(2 \cdot 15^\circ) = 2 \sin(30^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$.

Подставим упрощенные значения в уравнение:
$\sin x = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы получили простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Общее решение этого уравнения в градусах можно записать в виде двух серий, где $k$ — целое число ($k \in \mathbb{Z}$):
1) $x_1 = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ k = 60^\circ + 360^\circ k$
2) $x_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 360^\circ k = 180^\circ - 60^\circ + 360^\circ k = 120^\circ + 360^\circ k$

Найдем наибольший отрицательный корень, подставляя целые значения $k$.
В первой серии: при $k = 0$, $x = 60^\circ$ (положительный); при $k = -1$, $x = 60^\circ - 360^\circ = -300^\circ$.
Во второй серии: при $k = 0$, $x = 120^\circ$ (положительный); при $k = -1$, $x = 120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$.
Сравнивая отрицательные корни $-300^\circ$ и $-240^\circ$, наибольшим является $-240^\circ$.

Ответ: $-240^\circ$.