Номер 27.54, страница 172, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.54. Сколько корней имеет данное уравнение на указанном промежутке:

a) $2 \cos^2 x - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$, $(-0,5\pi; 3\pi);$

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2$, $(-\pi; 3,5\pi)?$

а) $2 \cos^2 x - \sin 2x = (\cos x - \sin x)^2$, $(-0,5\pi; 3\pi)$

Сначала упростим правую часть уравнения. Для этого раскроем скобки по формуле квадрата разности $(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2$ и применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а также формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
$(\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2\sin x \cos x + \sin^2 x = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2\sin x \cos x = 1 - \sin 2x$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное уравнение:
$2 \cos^2 x - \sin 2x = 1 - \sin 2x$.

Прибавим $\sin 2x$ к обеим частям уравнения, чтобы сократить это слагаемое:
$2 \cos^2 x = 1$.

Разделим обе части на 2:
$\cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Это уравнение эквивалентно двум простейшим тригонометрическим уравнениям:
$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения этих двух уравнений можно объединить в одну серию корней, так как они соответствуют точкам на единичной окружности, отстоящим друг от друга на $\frac{\pi}{2}$:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти количество корней, принадлежащих указанному промежутку $(-0,5\pi; 3\pi)$. Для этого решим двойное неравенство относительно $n$:
$-0,5\pi < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 3\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знаки неравенства не меняются):
$-0,5 < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < 3$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ (или 0,25) из всех частей:
$-0,5 - 0,25 < \frac{n}{2} < 3 - 0,25$
$-0,75 < \frac{n}{2} < 2,75$.

Умножим все части на 2:
$-1,5 < n < 5,5$.

Целочисленные значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Общее количество таких целых чисел равно 7. Каждому значению $n$ соответствует ровно один корень в заданном промежутке.

Ответ: 7.

б) $6 \cos^2 x + \sin 2x = (\cos x + \sin x)^2 + 2$, $(-\pi; 3,5\pi)$

Аналогично предыдущему пункту, упростим правую часть уравнения. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ и применим тригонометрические формулы:
$(\cos x + \sin x)^2 + 2 = (\cos^2 x + 2\sin x \cos x + \sin^2 x) + 2 = (1 + \sin 2x) + 2 = 3 + \sin 2x$.

Подставим упрощенное выражение в исходное уравнение:
$6 \cos^2 x + \sin 2x = 3 + \sin 2x$.

Вычтем $\sin 2x$ из обеих частей уравнения:
$6 \cos^2 x = 3$.

Разделим обе части на 6:
$\cos^2 x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Мы получили то же самое уравнение, что и в пункте а). Его общее решение:
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем количество корней, принадлежащих промежутку $(-\pi; 3,5\pi)$. Для этого решим двойное неравенство:
$-\pi < \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} < 3,5\pi$.

Разделим все части неравенства на $\pi$:
$-1 < \frac{1}{4} + \frac{n}{2} < 3,5$.

Вычтем $\frac{1}{4}$ (или 0,25) из всех частей:
$-1 - 0,25 < \frac{n}{2} < 3,5 - 0,25$
$-1,25 < \frac{n}{2} < 3,25$.

Умножим все части на 2:
$-2,5 < n < 6,5$.

Целочисленные значения $n$, которые удовлетворяют этому неравенству: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Общее количество таких целых чисел равно 9.

Ответ: 9.