Номер 27.58, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.58. Решите уравнение:

a) $ \sin 2x + 2 \sin x = 2 - 2 \cos x; $

б) $ 4 \sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7. $

а) $\sin 2x + 2\sin x = 2 - 2\cos x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\sin 2x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$

Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$2\sin x \cos x + 2\sin x + 2\cos x - 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\sin x \cos x + \sin x + \cos x - 1 = 0$

Для решения этого уравнения можно сгруппировать слагаемые и разложить левую часть на множители. Для этого прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$\sin x \cos x + \sin x + \cos x + 1 = 2$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части:

$(\sin x \cos x + \sin x) + (\cos x + 1) = 2$

$\sin x (\cos x + 1) + 1(\cos x + 1) = 2$

$(\sin x + 1)(\cos x + 1) = 2$

Проанализируем полученное равенство. Поскольку область значений синуса и косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то для выражений в скобках справедливы следующие неравенства:

$0 \le \sin x + 1 \le 2$

$0 \le \cos x + 1 \le 2$

Произведение двух сомножителей, каждый из которых не больше 2, равно 2. Это возможно только в двух случаях:

1. Первый сомножитель равен 2, а второй — 1.

$\begin{cases} \sin x + 1 = 2 \\ \cos x + 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos x = 0 \end{cases}$

Эта система имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Первый сомножитель равен 1, а второй — 2.

$\begin{cases} \sin x + 1 = 1 \\ \cos x + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases}$

Эта система имеет решения $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x) = 7$

Данное уравнение удобно решать методом введения новой переменной. Пусть $t = \sin x - \cos x$.

Возведем это равенство в квадрат, чтобы выразить $\sin 2x$ через $t$:

$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получим:

$t^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда выражаем $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - t^2$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4(1 - t^2) + 8t = 7$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $t$:

$4 - 4t^2 + 8t = 7$

$-4t^2 + 8t - 3 = 0$

$4t^2 - 8t + 3 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения для $t$:

$t_1 = \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо выполнить обратную замену. Вспомним, что $t = \sin x - \cos x$. Найдем область значений этого выражения с помощью метода вспомогательного угла:

$\sin x - \cos x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$

Так как $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$, то область значений для $t$ — это отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Сравним найденные значения $t$ с этой областью. Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Корень $t_1 = 0.5$ принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, следовательно, он является решением.

Корень $t_2 = 1.5$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, так как $1.5 > \sqrt{2}$. Следовательно, это посторонний корень.

Остается решить уравнение для $t_1$:

$\sin x - \cos x = \frac{1}{2}$

Используя преобразование, получаем:

$\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Общее решение для этого уравнения:

$x - \frac{\pi}{4} = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.