Номер 27.64, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

27.64. a) $\cos^2 2x - \sin^2 2x \le -1;$

б) $\sin 5x \cos 5x \ge \frac{1}{2};$

в) $\sin^2 3x - \cos^2 3x \le -1;$

г) $\sin \frac{2x}{3} \cos \frac{2x}{3} \le -\frac{1}{2}.$

а) $cos^2 2x - sin^2 2x \le -1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = 2x$:

$cos(2 \cdot 2x) \le -1$

$cos(4x) \le -1$

Поскольку область значений функции косинуса $E(\cos) = [-1; 1]$, то неравенство $cos(4x) \le -1$ может выполняться только в одном случае, когда $cos(4x) = -1$.

Решим это уравнение:

$4x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 4, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi n}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

б) $sin 5x \cos 5x \ge \frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $sin(2\alpha) = 2sin\alpha \cos\alpha$, из которой следует, что $sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = 5x$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot 5x) \ge \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(10x) \ge \frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$sin(10x) \ge 1$

Поскольку область значений функции синуса $E(\sin) = [-1; 1]$, то неравенство $sin(10x) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $sin(10x) = 1$.

Решим это уравнение:

$10x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 10, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{2\pi n}{10}$

$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

в) $sin^2 3x - cos^2 3x \le -1$

Вынесем минус за скобки в левой части неравенства:

$-(cos^2 3x - sin^2 3x) \le -1$

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $cos(2\alpha) = cos^2\alpha - sin^2\alpha$.

Применим эту формулу, где $\alpha = 3x$:

$-cos(2 \cdot 3x) \le -1$

$-cos(6x) \le -1$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$cos(6x) \ge 1$

Поскольку область значений функции косинуса $E(\cos) = [-1; 1]$, то неравенство $cos(6x) \ge 1$ может выполняться только в одном случае, когда $cos(6x) = 1$.

Решим это уравнение:

$6x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 6, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2\pi n}{6}$

$x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) $sin\frac{2x}{3} \cos\frac{2x}{3} \le -\frac{1}{2}$

Воспользуемся формулой $sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{2}sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к левой части неравенства, где $\alpha = \frac{2x}{3}$:

$\frac{1}{2}sin(2 \cdot \frac{2x}{3}) \le -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}sin(\frac{4x}{3}) \le -\frac{1}{2}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$sin(\frac{4x}{3}) \le -1$

Поскольку область значений функции синуса $E(\sin) = [-1; 1]$, то неравенство $sin(\frac{4x}{3}) \le -1$ может выполняться только в одном случае, когда $sin(\frac{4x}{3}) = -1$.

Решим это уравнение:

$\frac{4x}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части на $\frac{3}{4}$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n)$

$x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{6\pi n}{4}$

$x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{8} + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.