Номер 27.65, страница 173, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:

27.65. a) $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$;

б) $y = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$.

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 2 \cos 2x + \sin^2 x$ преобразуем ее, приведя все тригонометрические функции к одному аргументу. Для этого воспользуемся формулой понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2 \cos 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 \cos 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x = \frac{3}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}$.

Теперь значение функции $y$ зависит только от значения $\cos 2x$. Область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos 2x \le 1$. Сделаем замену $t = \cos 2x$, где $-1 \le t \le 1$. Функция примет вид $y(t) = \frac{3}{2}t + \frac{1}{2}$.

Это линейная функция с положительным угловым коэффициентом $k = \frac{3}{2}$. Такая функция является возрастающей, поэтому на отрезке $[-1, 1]$ она принимает свое наименьшее значение при наименьшем значении аргумента $t=-1$, а наибольшее — при наибольшем значении аргумента $t=1$.

Наименьшее значение функции: $y_{наим} = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$.

Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 2.

б) Для функции $y = 2 \sin^2 3x - \cos 6x$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Положив $\alpha = 3x$, получим $\cos 6x = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2 3x$.

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = 2\sin^2 3x - (1 - 2\sin^2 3x) = 2\sin^2 3x - 1 + 2\sin^2 3x = 4\sin^2 3x - 1$.

Значение функции $y$ зависит от значения $\sin^2 3x$. Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \sin 3x \le 1$. При возведении в квадрат значения из этого отрезка, мы получим значения в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \sin^2 3x \le 1$.

Теперь найдем множество значений для $y = 4\sin^2 3x - 1$. Для этого преобразуем неравенство $0 \le \sin^2 3x \le 1$. Умножим все части неравенства на 4, а затем вычтем 1:

$0 \cdot 4 \le 4\sin^2 3x \le 1 \cdot 4 \implies 0 \le 4\sin^2 3x \le 4$

$0 - 1 \le 4\sin^2 3x - 1 \le 4 - 1 \implies -1 \le y \le 3$.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -1 (достигается при $\sin^2 3x = 0$), а наибольшее значение равно 3 (достигается при $\sin^2 3x = 1$).

Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 3.